方べきの定理

方べきの定理（方冪の定理、ほうべきのていり）は、幾何学の定理の1つである。

説明

図1

図2

図3

円Oとその円周外に点Pをとり、点Pを通る2本の割線（円との共有点が2個の直線）と円Oの交点をA・BとC・Dとすると、（図1、図2）

$PA \cdot PB = PC \cdot PD$

が成り立ち、

また、点Pから円Oに割線と接線を引いて、円と割線の交点をA・B、接点をTとすると、（図3）

$PA \cdot PB = PT^2$

が成り立つ。

証明

	左の図において、円周角より ∠BAC = ∠BDC ∠ACD = ∠ABD 二角相等で △ACP ∽ △DBP よって PA:PC = PD:PB ゆえに $PA \cdot PB = PC \cdot PD$
	左の図において、円に内接する四角形の内対角より、 ∠PAC = ∠PDB ∠PCA = ∠PBD 二角相等で △PAC ∽ △PDB よって PA:PC = PD:PB ゆえに $PA \cdot PB = PC \cdot PD$
	左の図において、接弦定理より、 ∠PTA = ∠PBT また、共通の角で ∠TPA = ∠BPT 二角相等で △TPA ∽ △BPT よって PT:PA = PB:PT ゆえに $PT^2 = PA \cdot PB$