方べきの定理

方べきの定理（方冪の定理、ほうべきのていり）は、幾何学の定理の1つである。

内容

図1

図2

図3

円O とその円周外に点P を取り、点P を通る2本の割線（円との共有点が2個の直線）と円O の交点を A, B と C, D とすると、（図1、図2）

$\text{PA} \cdot \text{PB} =\text{PC} \cdot \text{PD}$

が成り立ち、

また、点P から円O に割線と接線を引いて、円と割線の交点を A, B、接点を T とすると、（図3）

$\text{PA} \cdot \text{PB} =\text{PT}^2$

が成り立つ。

証明

	左の図において、円周角より ∠BAC = ∠BDC ∠ACD = ∠ABD 二角相等で △ACP ∽ △DBP よって PA : PC = PD : PB ゆえに PA ・ PB = PC ・ PD
	左の図において、円に内接する四角形の内対角より、 ∠PAC = ∠PDB ∠PCA = ∠PBD 二角相等で △PAC ∽ △PDB よって PA : PC = PD : PB ゆえに PA ・ PB = PC ・ PD</math>
	左の図において、接弦定理より、 ∠PTA = ∠PBT また、共通の角で ∠TPA = ∠BPT 二角相等で △TPA ∽ △BPT よって PT : PA = PB : PT ゆえに PT2 = PA ・ PB