接続 (幾何学)

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幾何学では、接続(connection)の考え方により、曲線や曲線の族にそって平行で整合性を持つデータの移動のの考え方を詳しく示すことができる。 現代の幾何学には多くの種類の接続の考え方があり、移動したいデータが何であるかに依存する。例えば、アフィン接続英語版(affine connection)は接続の最も基本的なタイプであるが、この接続はある曲線に沿ってある点から別な点へ多様体の接ベクトルを移動することを意味する。アフィン接続は、典型的には共変微分英語版(covariant derivative)な微分形式として与えられ、ベクトル場方向微分(directional derivative)、つまり与えられた方向へのベクトル場の無限小移動をとることを意味する。

現代幾何学では接続は非常に重要である。大きな理由は、接続によりある点での局所幾何学と別な点での局所幾何学を比較することが可能となるからである。微分幾何学は、接続の考えたのいくつかの変形を持っている。大きなグループ分けをすると 2つのグループがあり、局所(local)の理論と無限小(infinitesimal)の理論である。局所理論は、平行移動英語版(parallel transport)やホロノミー英語版(holonomy)の考え方に最初から関係する。無限小の理論は、幾何学的なデータの微分と関係する。このように、共変微分は多様体上のベクトル場を他のベクトル場に沿った微分として特定することである。カルタン接続英語版(Cartan connection)は、微分形式リー群を使い接続の理論をある側面から定式化する方法である。エーレスマン接続英語版(Ehresmann connection)は、許される場の運動方向を特定することによるファイバーバンドル、あるいは主バンドルでの接続のことを言う。コスズル接続英語版(Koszul connection)は、ベクトルバンドルへ一般化したときの接続である。(本記事では、ベクトルバンドルについて接続を考えるとき、「コスズル接続」という単語を用いることとする.)

さらに接続は、曲率トーションテンソル英語版(torsion tensor)ような、幾何学的不変量のうまく定式化することにも使われる(曲率テンソル(curvature tensor)や曲率形式(curvature form)も参照)。

動機:座標の不適切さ[編集]

球面上の(黒い矢印の)平行移動。青と赤の矢印は、それぞれ異なる方向への平行移動を表しているが、右下の同じところで終わっている。2つの矢印が同じ方向を向いて終わっていないことが、球面上の曲率の持っている意味である。

次の問題を考えてみよう。球面 S の接ベクトルが球面の北極で与えられたときに、このベクトルを球面の他の点へ整合性を持って移動、平行移動の意味での移動を定義することである。ナイーブに考えると、これは平行座標系を使ってできそうに見える。しかしながら、特別な注意を払わない限り、ある座標系で定義された平行移動は他の座標系で定義されたものとは一致しない。より適切な平衡移動系は、球面の回転対称性を利用する。北極点であるベクトルが与えられると、回転軸方向を持たない曲線に沿って北極が移動するような方法で球面を回転させることで、このベクトルを曲線に沿って移動させることができる。これの平行移動の意味は、球面上のレヴィ・チビタ接続英語版(Levi-Civita connection)である。2つの異なる曲線の始点と終点が一致していて、ベクトル v が正確に回転より作られる第一の曲線に沿っているとすると、終点での結果として現れるベクトルは、第二の曲線に沿って正確に移動した v の結果として現れるベクトルとは異っている。この現象は、球面の曲率を反映している。平行移動を可視化することに使える単純な力学的な装置が、指南車(south-pointing chariot)である。

例えば、S に立体射影(stereographic projection)による座標を入れたとし、S を R3 の中の単位ベクトルからなると仮定すると、S は座標の対を持つことになる。一つは北極の近傍を覆い、もうひとつは南極を覆う。写像


\begin{align}
\varphi_0(x,y) & =\left(\frac{2x}{1+x^2+y^2}, \frac{2y}{1+x^2+y^2}, \frac{1-x^2-y^2}{1+x^2+y^2}\right)\\[8pt]
\varphi_1(x,y) & =\left(\frac{2x}{1+x^2+y^2}, \frac{2y}{1+x^2+y^2}, \frac{x^2+y^2-1}{1+x^2+y^2}\right)
\end{align}

は、北極の近傍 U0 と南極の近傍 U1 をそれぞれ覆う。X, Y, Z を R3 に付属する周りの座標とすると、φ0 と φ1 は、逆写像


\begin{align}
\varphi_0^{-1}(X,Y,Z)&=\left(\frac{X}{Z+1}, \frac{Y}{Z+1}\right), \\[8pt]
\varphi_1^{-1}(X,Y,Z)&=\left(\frac{-X}{Z-1}, \frac{-Y}{Z-1}\right),
\end{align}

を持つので、座標変換の函数は円に関する反転(inversion in a circle)

\varphi_{01}(x,y) = \varphi_0^{-1}\circ\varphi_1(x,y)=\left(\frac{x}{x^2+y^2},\frac{y}{x^2+y^2}\right)

となる。

ここで、ベクトル場を導き出された座標系に対する成分として表現しよう。P が U0 ⊂ S の点であれば、ベクトル場は、次のプッシュフォワードで表現される。

v(P) = J_{\varphi_0}(\varphi_0^{-1}(P))\cdot {\bold v}_0(\varphi_0^{-1}(P)). \qquad(1)

ここに、J_{\varphi_0} は φ0ヤコビ行列(Jacobian matrix)を表し、v0 = v0(x, y) は、vにより一意的に決定される R2 上のベクトル場である。さらに、座標系の交叉である U0 ∩ U1 の上では、φ1 に関して同じベクトルを表現することができる。

v(P) = J_{\varphi_1}(\varphi_1^{-1}(P))\cdot {\bold v}_1(\varphi_1^{-1}(P)). \qquad (2)

成分 v0v1 を関係づけるためには、連鎖律(chain rule)を等式 φ1 = φ0 o φ01 に適用して

J_{\varphi_1}(\varphi_1^{-1}(P)) = J_{\varphi_0}(\varphi_0^{-1}(P))\cdot J_{\varphi_{01}}(\varphi_1^{-1}(P)). \,

を得る。これの行列の等式の両辺を v11−1(P)) へ適用し、(1) と (2) を使うと、

{\bold v}_0(\varphi_0^{-1}(P)) = J_{\varphi_{01}}(\varphi_1^{-1}(P))\cdot {\bold v}_1(\varphi_1^{-1}(P)). \qquad (3)

を得る。

ここで、曲線に沿って平行にベクトル場をどのように平行に移動するのかという主要な問題へ至る。P(t) を S の中の曲線と仮定する。ナイーブには、曲線に沿ってベクトル場の座標成分が定数であれば、ベクトル場は平行であると考えることが可能である。しかしながら、直ちに曖昧さがでてくる。どの座標系に対して、これらの成分を定数とすべきなのか?

例えば、v(P(t)) が座標系 U1 で定数である、すなわち、函数 v11−1(P(t))) は定数であるあったと仮定する。しかし、積の微分法則(product rule)を (3) へ適用し、dv1/dt = 0 を使うと次式を得る。

\frac{d}{dt}{\bold v}_0(\varphi_0^{-1}(P(t)))=\left(\frac{d}{dt}J_{\varphi_{01}}(\varphi_1^{-1}(P(t)))\right)\cdot {\bold v}_1(\varphi_1^{-1}(P(t))).

しかし、\left(\frac{d}{dt}J_{\varphi_{01}}(\varphi_1^{-1}(P(t)))\right) はいつも非特異行列であるので(曲線 P(t) は定常でなくなり)、v1v0 は曲線に沿って同時には決して定数ではありえない

問題の解決策[編集]

上に現れた問題は、通常のベクトル解析方向微分は、ベクトル場の成分へ適用すると、座標系では変換の下ではうまく振る舞わないという問題である。このことは、実際にベクトル解析のような考え方が全く意味を持たないとすと、ベクトル場を平行に変換をどのように記述するかは非常に困難な問題となる。この問題の解決には、2つの基本的に異なった方法がある。

第一のアプローチは、方向微分を一般化して座標変換の下で「うまく振る舞わせる」には何が必要かを試すことである。このアプローチは接続に共変微分英語版(covariant derivative)という戦術を使うことである。うまく振る舞うことは、共変性英語版(covariance)に同じである。ここで、線型作用素の成分はクリストフェル記号と呼ばれる、ベクトル場自体の上の微分を意味しないある線型作用素(linear operator)による方向微分の変形を考える。座標系 φ での方向 u のベクトル v 成分の方向微分 Duv は、共変微分

\nabla_{\bold u} {\bold v} = D_{\bold u} {\bold v} + \Gamma(\varphi)\{{\bold u},{\bold v}\}

により置き換えることができる。ここに Γ は座標系 φ に依存し、uv について双線型(bilinear)である。特に、Γ は u あるいは v のいかなるをものも含んではいない。 この方法では、Γ は異なる座標系へ φ が変更されたときにも、所定の方法で変換される必要がある。この変換は、座標変換の一階の微分だけでなく二階の微分も含んでいないので、テンソルではない。Γ の変換法則を特定するだけでは、Γ を一意的に決定するには充分ではない。他にも正規化条件を導入する必要があり、導入すべき正規化条件は、通常は考えている幾何学のタイプに依存する。リーマン幾何学(Riemannian geometry)の場合は、レヴィ・チビタ接続英語版(Levi-Civita connection)を導入すると、(ある対称性条件と同様に)リーマン計量と整合性を持つクリストッフェル記号が必要となる。これらの正規化を行うと、接続は一意に定義される。

第二のアプローチは、空間の対称性の痕跡を捉えようとするリー群を使うアプローチである。これが、カルタン接続英語版(Cartan connection)のアプローチである。上記の球面上のベクトルの平行移動を特定する回転を使った例は、これに非常に良く似ている。

接続の歴史[編集]

歴史的には、接続は無限小の視点からリーマン幾何学を扱う際に研究された。クリストッフェル(Elwin Bruno Christoffel)の研究に端を発し、後にリッチ英語版(Gregorio Ricci-Curbastro)とレヴィ・チビタ英語版(Tullio Levi-Civita)が精力的に研究した(Levi-Civita & Ricci 1900)。彼らはクリストッフェルの無限小の意味での接続が平行移動の概念と相容れることを確かめている。(レヴィ・チビタ接続英語版(Levi-Civita connection)を参照、なお、「レヴィ・チビタ接続」のことを「リーマン接続(Riemann connection)」と呼ぶこともある。)

レヴィ・チビタは、平行移動が微分方程式の解となるような微分作用素の一種としての接続に注目した。時代が進むのに併せてエリ・カルタン(Élie Cartan)が接続の新しい概念を開発した。彼はクライン(Felix Klein)のエルランゲン・プログラム(Erlangen program)にパフィアン英語版(pfaffian)のテクニックを応用する手段を探していた。これらの研究の中で、彼はある無限小の接続の概念(カルタン接続英語版(Cartan connection))が適用できることを発見した。この接続は曲率を許容する(古典的なクライン幾何にはないと思われていた)(例えば、(Cartan 1926) と (Cartan 1983)を参照)。更に、ダルブー(Gaston Darboux)の力学を用いてカルタンは無限小による平行移動の概念の接続をカルタン接続にまで一般化することができた。このことは、微分形式の一種としての接続を確立し、現代でも主要に扱われる。(接続形式(connection form)を参照)

微分作用素としての接続と、微分形式としての接続と、接続の理論における二通りの扱いは、現在に至るまで残っている。1950年、コスズル英語版(Koszul)はコスズル接続英語版(Koszul connection)を使って微分作用素としての接続について代数的な枠組みを与えた(Koszul 1950)。コスズル接続はレヴィ・チビタ接続よりも一般的で、かつ接続の形式化において不恰好なクリストッフェル記号を最終的に除去することができた(少なくとも隠すことができた)ので取り扱いが容易になった。付随する平行移動操作は接続の用語を用いた自然な代数的解釈を持つ。コスズル接続は共変微分と平行移動の概念との解析的な対応を代数的な対応に書き換えるので、微分幾何学のコミュニティに受け入れられた。

同じ年、カルタンの学生のエーレスマン英語版(Ehresmann)は主束、一般にはファイバー束の文脈から微分形式としての接続の多様性を提示した(Ehresmann 1950)。エーレスマン接続英語版(Ehresmann connection)は、厳密には、カルタン接続の一般化ではない。Cartan's equivalence methodとの関係により、カルタン接続は底空間の微分構造と強く結びついている。エーレスマン接続は、当時の陳省身(Shiing-Shen Chern)のような他の幾何学者の基礎的結果を見る強固なフレームワークとなった。当時既に、陳省身自身はゲージ接続と呼ばれることを研究するため、カルタン接続から離れて始めていた。エーレスマンの視点からは、主束の接続は全空間の「水平な」或いは「鉛直な」ベクトル場という方法から構成されている。平行移動とは、底空間の曲線を全空間の水平なベクトル場の中の曲線への持ち上げだと見なせる。この視点は、ホロノミー英語版(holonomy)を考える際に特に有用であることが示されている。

可能なアプローチ[編集]

参照項目[編集]

参考文献[編集]

外部リンク[編集]