拡大体における双対基底

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数学線型代数学における双対基底の概念は、体のトレース英語版を用いることで有限拡大体 L/K へと応用することが出来る。ただし、その体のトレース TrL/K が、K 上の非退化英語版二次形式を与えることが必要となる。これはその拡大体が分離拡大である時に満たされる。すなわち、K完全体であって、したがって K が有限かあるいは標数ゼロである時に、自然に満たされる。

双対基底(dual basis)は多項式基底正規基底のような具体的な基底ではない。むしろそれは、計算のための第二の基底を用いる方法を提供する概念である。

ある有限体 GF(pm) 内の元に対する二つの基底

B_1 = {\alpha_0, \alpha_1, \ldots, \alpha_{m-1}}

および

B_2 = {\gamma_0, \gamma_1, \ldots, \gamma_{m-1}}

を考える。このとき B2 は、

\operatorname{Tr}(\alpha_i\cdot \gamma_j) = \left\{\begin{matrix} 0, & \operatorname{if}\ i \neq j\\ 1, & \operatorname{otherwise} \end{matrix}\right.

であれば、B1 の双対基底であると見なされる。ここで、GF(pm) 内のある値のトレース英語版は、

\operatorname{Tr}(\beta ) = \sum_{i=0}^{m-1} \beta^{p^i}

と計算される。双対基底を用いることは、基底変化の公式を用いて陽的に基底を転換するよりも、異なる基底を用いる手法を簡単に結びつける方法を提供するものである。さらに、双対基底が備えられるなら、元の基底のある元から双対基底への転換は、乗法的単位元(通常は 1)の乗算によって達成される。