拡大体における双対基底

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数学線型代数学における双対基底の概念は、体のトレースを用いることで有限次拡大 L/K へと応用することが出来る。ただし、その体のトレースによる TrL/K(xy) が、K 上の非退化二次形式を与えることが必要となる。これはその拡大体が分離拡大である時に満たされる。したがって、K完全体のとき、とくに K が有限体や標数ゼロである時に、自動的に満たされる。

双対基底(dual basis)は多項式基底正規基底のような具体的な基底ではない[疑問点 ]。むしろそれは、計算のための第二の基底を用いる方法を提供する概念である。

L/K を有限次分離拡大とする。

B_1 = \{\alpha_0, \alpha_1, \ldots, \alpha_{m-1}\}

LK-基底とすると、

\operatorname{Tr}_{L/K}(\alpha_i \gamma_j) = \begin{cases} 0 & (i \neq j) \\ 1 & (i = j) \end{cases}

を満たす基底

B_2 = \{\gamma_0, \gamma_1, \ldots, \gamma_{m-1}\}

が存在する。これをトレース TrL/K に関する B1 の双対基底と言う。

L有限体 GF(qm)、K をGF(q) とすると、体の拡大 L/K の元のトレースは、

\operatorname{Tr}_{L/K}(\beta ) = \sum_{\sigma \in \operatorname{Gal}(L/K)} \!\!\! \beta^\sigma = \sum_{i=0}^{m-1} \beta^{q^i}

と計算される。

L = K (α) を分離拡大とし、f をαの最小多項式、

\frac{f(X)}{X-\alpha}=b_0+b_1X+\dotsb+b_{n-1}X^{n-1}

とする。このとき 1, α, ..., αn−1 と双対な基底は

\frac{b_0}{f'(\alpha)},\dots,\frac{b_{n-1}}{f'(\alpha)}

である。

双対基底を用いることは、基底の変換公式を用いて陽に基底を変換するよりも、異なる基底を用いる手法を簡単に結びつける方法を提供する。さらに、双対基底をもつならば、元の基底のある元から双対基底への変換は、乗法的単位元(通常は 1)の乗算によって達成される。

参考文献[編集]

  • Neukirch, J., 『代数的整数論』、足立恒雄 監修、梅垣敦紀 訳、丸善出版、ISBN 978-4-621-06287-6