復号手法

復号手法（ふくごうしゅほう、英: Decoding methods）は、符号理論における復号の手法であり、受信したメッセージを所定の符号の符号語の並びに変換する手法である。本項目では、主な復号手法を解説する。これらの手法は2元対称通信路などの通信路上を転送されるメッセージの復号に使われる。

本項目における記号 [編集]

以降の記述において、 $C \subset \mathbb{F}_2^n$ は長さ $n$ の符号、 $x,y$ は $\mathbb{F}_2^n$ の元、 $d(x,y)$ は $x,y$ 間のハミング距離を表す。なお、 $C$ は線型符号とは限らない。

最適復号 [編集]

メッセージ $x \in \mathbb{F}_2^n$ を受信したとき、最適復号（Ideal Observer Decoding）では、

$\mathbb{P}(y \mbox{ sent} \mid x \mbox{ received})$

が最大となるような符号語 $y \in C$ を選択する。すなわち、メッセージ $x$ の解釈として最適と考えられる符号語 $y$ を選択する。

復号における規定 [編集]

各符号語の確率はユニークではない。受信メッセージの解釈として複数の符号語が同じ確率となる場合もある。その場合、送信側と受信側の間で復号に関する規定を定めておく。一般的な規定は次のどちらかである。

符号語の再送を要求する。
最も確率の高い符号語群から無作為に1つを選択する。

最尤復号 [編集]

メッセージ $x \in \mathbb{F}_2^n$ を受信したとき、最尤復号（Maximum Likelihood Decoding）では、

$\mathbb{P}(x \mbox{ received} \mid y \mbox{ sent})$

が最大となるような符号語 $y \in C$ を選択する。すなわち、 $x$ を受信したときの条件付き確率の最も高い符号語 $y$ を選択する。なお、全ての符号語の出現確率が同じである場合、これは「最適復号」と等価である。

$\begin{align} \mathbb{P}(x \mbox{ received} \mid y \mbox{ sent}) & {} = \frac{ \mathbb{P}(x \mbox{ received} , y \mbox{ sent}) }{\mathbb{P}(y \mbox{ sent} )} \\ & {} = \mathbb{P}(y \mbox{ sent} \mid x \mbox{ received}) \cdot \frac{\mathbb{P}(x \mbox{ received})}{\mathbb{P}(y \mbox{ sent})} \\ & {} \propto \mathbb{P}(y \mbox{ sent} \mid x \mbox{ received}) \end{align}$

最終行では $x \mbox{ received}$ が固定されていることと、 $\mathbb{P}(y \mbox{ sent})$ が $y \mbox{ sent}$ 依存性を持たないことを使っている。なお「最適復号」と同様、確率が同じ符号語がある場合の規定をしておく必要がある。

最小距離復号 [編集]

メッセージ $x \in \mathbb{F}_2^n$ を受信したとき、最小距離復号（Minimum Distance Decoding）ではハミング距離

$d(x,y) = \# \{i : x_i \not = y_i \}$

が最小となる符号語 $y \in C$ を選択する。すなわち、なるべく $x$ に近い符号語 $y$ を選択する。

（履歴記憶のない）離散通信路における誤り発生確率 $p$ が2分の1未満の場合、「最小距離復号」と「最尤復号」は同じである。なぜなら

$d(x,y) = d\,$

としたとき、

$\begin{align} \mathbb{P}(y \mbox{ received} \mid x \mbox{ sent}) & {} = (1-p)^{n-d} \cdot p^d \\ & {} = (1-p)^n \cdot \left( \frac{p}{1-p}\right)^d \\ \end{align}$

となり（p が2分の1未満なので）、d を最小化することで値が最大になる。

最小距離復号は「最近傍復号（Nearest Neighbour Decoding）」とも呼ぶ。標準配列を使うと容易または自動的に行える。最小距離復号は、以下の条件が成り立つ場合に使いやすい。

誤り発生確率 p が、シンボルの位置とは無関係である。
誤り同士も無関係に独立して生じる（メッセージ内のある位置で誤りが発生したという事実が、他の位置での誤り発生に影響しない）。

これらの条件は2元対称通信路では妥当である。しかし例えばDVDの場合、ある箇所に傷が付くと、その周辺のシンボルや符号語で誤りが発生する確率が高くなり、誤り同士が相互に関係し、かつシンボルの位置が関係してくる。

他の復号手法と同様、復号が一意に定まらない場合の規定を予め決めておく必要がある。

シンドローム復号 [編集]

シンドローム復号（Syndrome Decoding）は、ノイズのある（誤りが発生する）通信路での線型符号の高効率な復号手法である。シンドローム復号は基本的には「最小距離復号」だが、小さな参照テーブルを使う。参照テーブルは符号の線型性を利用して小さくできる。

長さ $n$ で最小ハミング距離 $d$ の線型符号 $C\subset \mathbb{F}_2^n$ のパリティチェック行列を $H$ とする。すると、 $C$ は明らかに

$t = \left\lfloor\frac{d-1}{2}\right\rfloor$

までの通信路で発生した誤りを訂正できる（ $t$ 個以下の誤りであれば、最小距離復号で問題なく復号可能である）。

符号語 $x \in \mathbb{F}_2^n$ が送られ、誤りパターン $e \in \mathbb{F}_2^n$ が発生したとする。すると受信されるメッセージは $z=x+e$ となる。通常の最小距離復号では、ベクトル $z$ を大きさ $|C|$ のテーブル上で検索し、最もよく一致するものを選ぶ。すなわち、全ての $y \in C$ について