巨大数

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巨大数(きょだいすう)とは、日常生活において使用される数よりも巨大なのことである。非常に巨大な数は、数学天文学宇宙論暗号理論インターネットコンピュータなどの分野でしばしば登場する。天文学的数字(てんもんがくてきすうじ)と呼ばれることもある。巨大な数や微小な数を処理するために特殊な数学記号が使われている。

巨大数の使用例[編集]

巨大数はたとえば以下のような使用例がある。

「天文学的」な巨大数[編集]

巨大数は、天文学の分野にも登場する。

MD5のハッシュキーの長さは128ビットであり、2128 (約 3.402×1038 )通りのハッシュ値をとる。これは非常に良好なハッシュ関数であり、あるドキュメントが特定のハッシュ値をとる確率は 2-128 となっている。これは実質的にはゼロに等しい値である(ただし、誕生日のパラドックスに注意)。

しかしながらこの数は、地球上に存在する原子の総数と比較するとまだまだ小さな数であり、観測可能な宇宙に存在する原子の総数よりも遥かに小さい数といえる。

組合せ論的数[編集]

組合せ数学において、組合せの場合の数などは急激に大きくなる数で、組合せ爆発といった語もある。たとえば、一意な要素の集合についての順列の数である階乗関数は、非常に急速に発散する関数である。それを拡張したものとして、超階乗も考えられている。

組合せ関数は、統計力学で扱われる巨大数を生成するために使われることがある。統計力学の分野で使用される数は、一般に対数を用いて表される。

日常の用語として使われる「天文学的 (数)」に対し、(あまり一般的ではないが)「組合せ論的 (数)」という語がある。

計算不可能な手続による巨大数の構成[編集]

ビジービーバー関数 Σ は、あらゆる計算可能関数よりも速く増大する関数の一例である。ビジービーバー関数自身は計算不可能である。引数が比較的小さな値であっても巨大な値を返す。n = 1, 2, 3, 4 に対して、Σ(n) の値はそれぞれ 1, 4, 6, 13 である。Σ(5) は未知であるが、4098以上の値をとる。Σ(6) は少なくとも 1.29×10865 である。

無限数[編集]

上述の数はすべて非常に巨大な数であるが、それでも有限である。数学の一部の分野では、無限大超限数という定義をしている数がある。

  • アレフ0 (\aleph_0) は、整数集合濃度である。
  • アレフ1 (\aleph_1) は、アレフ0 の次に大きい濃度である。
  • アレフ (\aleph) あるいは \mathfrak{c} は、実数の濃度である。命題 \mathfrak{c} = \aleph_1 は、連続体仮説として知られている。
  • 巨大基数は、ZFCではその存在が証明できないような大きな基数である。例えば、(弱・強)到達不可能基数、マーロ基数、(弱・強)コンパクト基数、可測基数等がある。

巨大数の表記法[編集]

巨大数の大きさは一般に指数を用いて表され、多くの現実的な目的においてはそれで十分である。しかし、モーザー数やグラハム数などは「10の10乗の10乗の…」を宇宙の果てまで続けても追い付かないほどのとてつもなく巨大な数であり、指数では表現しきれない。そのような超巨大な数を表現するために、多くの数学者が独特の表記法を考え出した。

  • ハイパー演算子は、加法の繰り返しで乗法、乗法の繰り返しで冪乗を作ることを発展し、新たな演算を作っていくものであり、本質的にはタワー表記の別表記である。
  • コンウェイのチェーン表記は、タワー表記の「矢印の増加」そのものの繰り返し、『「矢印の増加」に繰り返しを入れること』の繰り返しなどを表現できるようにし、さらに巨大な数を表せるようにしたものである。
  • 回転矢印表記はタワー表記やチェーン表記の拡張版で矢印の回転を繰り返すことにより従来のタワー表記やチェーン表記よりも遥かに巨大な数を表記できるようにしたものである。
  • BEAFは配列表記やその拡張によりタワー表記やチェーン表記や回転矢印表記よりも遥かに巨大な数を表記できるようにした記法である。

関連項目[編集]

脚注[編集]

外部リンク[編集]