密着空間

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数学位相空間論周辺分野における密着空間(みっちゃくくうかん、: indiscrete space)は、直観的にはその空間の全ての点が「一塊に密着」していてどの点の位相的な意味で区別できないような位相空間である。密着空間の位相は、開集合系が空集合と空間全体のみからなる自明な位相 (trivial toppology) であり、これをしばしば密着位相 (indiscrete topology) とも呼ぶ。密着空間を、任意の二点間の距離が 0 であるような距離函数に関する擬距離空間と考えることができる。

性質[編集]

位相の定義により、空集合と空間全体は常に開集合であるから、密着位相は開集合の数が可能な限り最小であるような位相(最粗位相)になっている。そのような簡素さにもかかわらず、二点以上を含む密着空間 X は、位相空間として重要なよい性質をいくつも欠いている。例えば、そのような空間は T0-空間にすらならない。

そのほか密着空間 X が持つ(ほとんどは極めて普通でない)性質を挙げる。

関連概念と一般化[編集]

密着位相のある意味で対極に位置する位相は離散位相(全ての部分集合が開集合となるような位相)である。

密着空間 X は、直積空間 X × X 全体を唯一の近縁とする一様空間になる。

Top位相空間と連続写像の圏Set集合と写像の圏とし、函手 F: TopSet を位相空間にその台集合を対応させるもの(忘却函手)とする。G: SetTop を与えられた集合を密着空間と看做す函手とすると、GF右随伴である(一方 F の左随伴 H は、与えられた集合を離散空間と看做す函手 H: SetTop で与えられる)。

参考文献[編集]

外部リンク[編集]