完全トーティエント数

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完全トーティエント数(かんぜんトーティエントすう、: perfect totient number)は、自然数のうち、以下の等式を満たす数 n である。

n = \sum_{i = 1}^{c + 1} \varphi^i (n) = \varphi (n) + \varphi (\varphi (n)) + \varphi (\varphi (\varphi (n))) + \cdots + \overbrace{ \varphi (\varphi ( \cdots (\varphi (\varphi }^{c+1} (n))) \cdots ))
\varphi^i (n)= \left\{ \begin{matrix} \varphi (n) \qquad i=1 \\ \varphi(\varphi^{i-1} (n)) \quad i \ge 2 \end{matrix}\right.

ここで φ はオイラーのトーティエント関数である。例えば 327 は

φ(327) = 216, φ(216) = 72, φ(72) = 24, φ(24) = 8, φ(8) = 4, φ(4) = 2, φ(2) = 1

と 1 になるまで次々とφ関数の値を計算し、それらの総和が 216 + 72 + 24 + 8 + 4 + 2 + 1 = 327 と元の数に等しくなるので完全トーティエント数である。

一般に完全トーティエント数 n は以下の式を満たす。

\displaystyle\varphi^c(n)=2

完全トーティエント数は無数にあり、そのうち最小の数は3である。完全トーティエント数を小さい順に列記すると

3, 9, 15, 27, 39, 81, 111, 183, 243, 255, 327, 363, 471, 729, 2187, 2199, 3063, 4359, 4375, …

性質[編集]

ほとんどの完全トーティエント数は3の倍数であり、3の倍数でない完全トーティエント数のうち最小の数は4375である。特に3の累乗数(3,9,27,81,243,729,2187,…)は全て完全トーティエント数である。これは3の累乗数 3k

\displaystyle\varphi(3^k) = \varphi(2\times 3^k) =2 \times 3^{k-1}

を満たすことから証明できる。

Venkataramanは1975年に素数pが p=4×3k+1 の形で表されるとき、3pが完全トーティエント数になることを発見した。一般に、素数p>3に対して3pが完全トーティエント数であるとき、p≡1(mod 4) である(Mohan,Suryanarayana 1982)。しかし、この形をした3pの全てが完全トーティエント数になる訳ではない。例えばp=17の場合 p≡1(mod 4) を満たし、3p=51 となるが51は完全トーティエント数ではない。

関連事項[編集]

この記事は、クリエイティブ・コモンズ・ライセンス 表示-継承 3.0 非移植のもと提供されているオンライン数学辞典『PlanetMath』の項目perfect totient numberの本文を含む