宇宙速度

地表から水平に打ち出された砲弾は重力に引かれて地表に落下する (A)。射出速度を上げても第一宇宙速度未満ならいつかは地表に落下する (B)。第一宇宙速度で打ち出された場合は人工衛星となる (C)。それ以上の速度では楕円を描き (D)、第二宇宙速度以上の場合は地球の重力を振り切る (E)（ただし大気の摩擦による影響などは考慮していない）。

宇宙速度（うちゅうそくど）とは、宇宙で各種慣性飛行を行うために必要な最小初速度の大きさを言う。第一、第二、第三に分けられる。通常は地球を対象としているが、他の星（恒星、惑星、衛星等）に対して使う場合もある。

第一宇宙速度

地球の地表すれすれに衛星として存在するために必要な速さで約 7.9 km/s（時速28400km）。これ未満の速度を弾道軌道速度 (suborbital)、これを超える速度を超軌道速度 (superorbital) と言う。第一宇宙速度未満では地表に墜落するため、落下地点をコントロールすることにより大陸間弾道ミサイルとなり、いわゆる「ロケット技術＝事実上のミサイル」という事になる。

第二宇宙速度（脱出速度）

地球の重力を振り切るために必要な最小初速度の大きさ。第一宇宙速度の$\sqrt{2}$倍となり、約 11.186 km/s（時速40269.6km）。太陽を回る人工惑星になるためには第二宇宙速度が必要である。地球の重力圏を脱出するという意味で脱出速度とも呼ばれる。

第三宇宙速度

地球表面から慣性飛行を行って、太陽の重力を振り切るために必要な最小初速度の大きさで、約 16.7 km/s（時速60120km）。この数値は太陽を中心とする地球公転軌道から無限遠点まで到達できる初速度という意味であり、現実的にはより低い初速度で長楕円軌道を描くことによって太陽系外の領域に至り、別の天体の重力に捕らわれるなど（スイングバイ）して脱出を果たせる。

導出

以下の計算では空気抵抗を無視する。また初速度を与えた後は慣性飛行するものとする。 また、各定数は、

万有引力定数：$G (6.67 \times 10^{-11} \mbox{m}^3 \mbox{s}^{-2} \mbox{kg}^{-1})$

地球質量：$M (5.97 \times 10^{24} \mbox{kg})$

地球半径：$R (6.36 \times 10^{6} \mbox{m})$

太陽質量：$M_{S} (1.99 \times 10^{30} \mbox{kg})$

地球の公転半径：$R_{E} (1.50 \times 10^{11} \mbox{m})$

とする。

第一宇宙速度

地球の重心を中心として速さ$v$の等速円運動をした時に質量 $m$ の物体に働く遠心力は$\frac{m v^2}{R}$である。このとき物体に働く重力は$\frac{GmM}{R^2}$である。第一宇宙速度 $v_1$ は遠心力と重力が釣り合うとして求める。すなわち、$\frac{m v_{1}^2}{R} = \frac{GmM}{R^2}$より、$v_{1} = \sqrt{\frac{GM}{R}} = 7.91 \times 10^{3} \mbox{m/s} = 7.91 \mbox{km/s}$ である。

ちなみにGoogleで天体の半径などの天文学の定数が検索可能で、sqrt(Xの質量*万有引力定数/Xの半径)でvを求めることができる（Xはそれぞれの天体名）。

第二宇宙速度

地球から無限遠を基準とすると、質量 $m$ の物体の地球表面における地球重力によって生じる位置エネルギーは、 $U = -\int_{\infty}^{R}\left(-\frac{GMm}{r^2} \right) dr = -\frac{GMm}{R}$と表される。この物体に、負の位置エネルギーを打ち消す速さ $v_2$ の運動エネルギー $\frac{1}{2}mv_{2}^2$ を与えれば無限遠に達する、即ち地球の重力圏から脱出することができるとして求める。すなわち、$\frac{1}{2}mv_{2}^2-\frac{GMm}{R}=0$より、$v_2 = \sqrt{\frac{2GM}{R}} = \sqrt{2}v_1 = 11.2 \mbox{km/s}$ となる。なお、地球の自転速度は小さいのでここでは無視している。

第三宇宙速度

第二宇宙速度と同様に、地球公転軌道近辺における太陽からの脱出速度は、$v_{S} = \sqrt{\frac{2GM_{S}}{R_{E}}} = 42.1 \mbox{km/s}$ である。ただし、これは太陽から見た速さなので、地球からの場合、地球の公転運動を差し引かなければならない。地球の公転速度$v_{E}$は地球の公転による遠心力と太陽と地球の引力が釣り合うという関係から求めることができるので、$v_{E} = \sqrt{\frac{GM_{S}}{R_{E}}} = 29.8 \mbox{km/s}$である。したがって地球公転軌道からの脱出速度は $v_{EO} = v_{S} - V_{E} = 12.3 \mbox{km/s}$である。地表から打ち上げる場合には地球の重力を振り切る分だけ速くする必要がある。これは地表での位置エネルギーを打ち消した後に$v_{EO}$の速度になればよいということなので、質量 $m$ の物体の場合に$\frac{1}{2}mv_{3}^2 - \frac{GMm}{R} = \frac{1}{2}mv_{EO}^2$という関係が成り立つ。したがって、$v_3 = \sqrt{\frac{2GM}{R} + v_{EO}^2} = 16.7 \mbox{km/s}$ である。

精度

以上では地球を球、公転軌道を円として計算したが、地球の赤道半径と極半径の差は約：$2 \times 10^{4} \mbox{m}$（平均半径の0.3%）、地球の近日点と遠日点の差は約：$5 \times 10^{9} \mbox{m}$（同3%）なので、3桁目以降の正確な値を求めるには、これらを考慮する必要がある。

よくある誤解

前述の通り、これらの速度はあくまでも「地球表面に対する接線方向への慣性飛行における初速度の最小値」である。地球や太陽から遠ざかるほど脱出速度は小さくなるので、推力が維持できなくなる前にその地点での脱出速度に達すれば重力圏を脱出することが可能である。2008年現在までの宇宙飛行はこうして実現されており、既存のロケットなどの初速度が前項の脱出速度を超えているということではない。

つまり、あくまで理論的には打ち上げ直後から極端に小さい速度を維持しての脱出(例：軌道エレベータ)も可能であるが、実用化には至っていない。

関連項目

• 人工衛星の軌道: 説明の絵がある
• スイングバイ