孤立点

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"0" は集合A = \{0 \} \cup [1,2]の孤立点である。

位相空間論において、集合Sの点xが「Aの」孤立点(こりつてん、: isolated point)であるとは、xの十分小さな近傍を考えれば、それがx以外のSの点が1つも含まれないようなものが存在することをいう。

特にSユークリッド空間(あるいはもっと一般の距離空間)の場合に即して言えば、xSの孤立点であるとは、xを中心とする開球のうちx以外のSの点を含まないものが存在するということを意味する。

別な言葉で言えば、点x \in SSにおいて孤立するための必要十分な条件は、xS集積点とはならないことである。

孤立点のみから成る集合を離散集合 (discrete set) という。ユークリッド空間における離散部分集合は可算である(これは有理数全体のなす集合\mathbb{Q}が実数全体のなす集合\mathbb{R}において稠密であるという事実に基づけば、ユークリッド空間における部分集合の各点を孤立させるというのは、有理数を座標に持つ点(有理点)からなる集合に1対1に写すという意味になるためである)。一方、可算だが離散的でない集合が存在しうる(例えば有理数全体の集合\mathbb{Q})。

孤立点を持たない集合はそれ自身稠密 (dense-in-itself) である。孤立点を持たない閉集合を完全集合という。

「孤立点の数」というのは位相不変量の一種である。すなわち、位相空間XYが互いに同相ならば、それらの持つ孤立点の数は必ず等しい。

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以下に示す位相空間は実数直線の部分位相空間と見なすことができる。

  • 集合S=  \{0 \} \cup [1,2]において、0は孤立点である。
  • 集合S = \{0 \} \cup \{1,\ 1/2,\ 1/3,\ \dots \}において、点\frac {1} {k}は孤立点だが、0以外で0にいくらでも近い点がSの中に存在するため、0は孤立点ではない。
  • 自然数の集合\mathbb{N} = \{0,\ 1,\ 2,\ \ldots \}は離散集合である。

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