大域体

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数学では、大域体(global field)とは、次の体のうちのどちらかのことを言う。

  • 代数体、すなわち、Q有限拡大
  • 大域函数体(global function field)、すなわち、有限体上の代数曲線函数体、同じことであるが、q 個の元を持つ有限体上の一変数有理函数体 Fq(T) の有限拡大

付値論を通したこれらの体の公理的特徴付けは、エミール・アルティンドイツ語版英語版(Emil Artin)とジョージ・ホェープルス英語版(George Whaples)により1940年代に与えられた[1]

2つの種類(数体と函数体)の体の間には形式的な多くの共通点がある。双方のタイプの体は、完備化の全てが局所コンパクトな体であるという性質を持っている(局所体を参照)。両方のタイプの体は、零でない全てのイデアルが有限指数であるデデキント整域分数体として実現できる。各々の場合とも、零でない元 x積公式

\prod_v |x|_v = 1

が成り立つ。

2つの種類の体の間の類似は、代数的整数論の強い動機付けとなってきた。数体とリーマン面の類似という考え方も、19世紀のリヒャルト・デーデキント(Richard Dedekind)やハインリッヒ・ウェーバー英語版(Heinrich M. Weber)まで遡る。代数曲線がとしてのリーマン面の一側面が有限体上定義された曲線へ写像される、大域体により表されたより強い類似は、1930年代の間の作り上げられ、1940年にはアンドレ・ヴェイユ(André Weil)により有限体上の曲線のリーマン予想として大きく取り上げられた。用語はヴェイユによるのであろうが、彼は Basic Number Theory (1967) を出版し、その中でこれらの平行性を記述した。

普通は、函数体の場合に先に遂行し、数体の上で平行するテクニックを開発する。アラケロフ理論英語版(Arakelov theory)とゲルト・ファルティングス(Gerd Faltings)がモーデル予想の証明に利用したことは、劇的な例である。類似はまた、岩澤理論岩澤主予想の発展へ影響もしている。ラングランズ・プログラムでの基本補題英語版(fundamental lemma)でも、数体の場合を函数体の場合へ帰着させるテクニックを使う。

脚注[編集]

  1. ^ Artin & Whaples 1945 and Artin & Whaples 1946

参考文献[編集]