大域体

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数学では、大域体(global field)とは、次の体のうちのどちらかのことを言う。

付値論を通したこれらの体の公理的特徴付けは、エミール・アルティンドイツ語版英語版(Emil Artin)とジョージ・ホェープルス英語版(George Whaples)により1940年に与えられた。[1]

2つの種類(数体と函数体)の体の間には形式的な多くの共通点がある。双方のタイプの体は、完備化の全てが局所コンパクトな体であるという性質を持っている(局所体を参照)。両方のタイプの体は、零でない全てのイデアルが有限位数であるデデキント整域分数の体(field of fractions)として実現できる。各々の場合ともも、零でない元 x の積公式

\prod_v |x|_v = 1

を持つ。

2つの体の種類の間の類似は、代数的整数論の強い動機付けとなってきた。数体とリーマン面の類似の考え方も、19世紀のリヒャルト・デーデキント(Richard Dedekind)やハインリッヒ・ウェーバー英語版(Heinrich M. Weber)まで遡る。最も強い類似は大域体により表された。そこでは、代数曲線が有限体の上に定義された曲線へ写像されたときのリーマン面の一側面が、1930年代の間の作り上げられ、1940年にはアンドレ・ヴェイユ(André Weil)により有限体上のリーマン予想として大きく取り上げられた。用語はヴェイユによるのであろうが、彼はBasic Number Theory (1967) を出版し、その中でこれらの平行性を記述した。

普通は、函数体の場合に先に遂行し、数体の上で平行するテクニックを開発する。アラケロフ理論英語版(Arakelov theory)とゲルト・ファルティングス(Gerd Faltings)がモーデル予想英語版(Mordell conjecture)の証明に利用したことは、劇的な例である。類似はまた、岩澤理論岩澤主予想の発展へ影響もしている。ラングランズ・プログラムでの基本補題英語版(fundamental lemma)でも、函数体の場合を数体へ適用するテクニックを使う。

脚注[編集]

  1. ^ Artin & Whaples 1945 and Artin & Whaples 1946

参考文献[編集]