多重対数関数

解析学における多重対数関数 （たじゅうたいすうかんすう、英：Polylogarithm、 別名ポリログまたはde Jonquiereの関数） とは特殊関数の一つで、通常 Li_s(z) と書かれ、以下のように定義される：

$\operatorname{Li}_s(z) = \sum_{k=1}^\infty {z^k \over k^s}.$

ここで $s, z$ は任意の複素数（ただし $|z|<1$）。 解析接続を用いることで、これより広い範囲の $z$ に対し多重対数関数を定義することができる。

普通、多重対数関数は（対数関数と異なり）初等関数には含めない。

特に $s = 1$ の場合はよく知られた自然対数に帰着される：

$\operatorname{Li}_1(z) = -\ln(1-z)$

また $s = 2$ および $s = 3$ の場合は特にそれぞれdilogarithm （またはSpenceの関数、en:Spence's function）およびtrilogarithmと呼ばれる。 これらの名前は、冒頭の和の代わりに以下のような積分の繰り返しによっても定義できることから来ている：

$\operatorname{Li}_{s+1}(z) = \int_0^z \frac {\operatorname{Li}_s(t)}{t}dt$

例えばdilogarithmは自然対数を用いた積分である等。

$s$ が負の整数値を取るとき、多重対数関数は有理関数となる。

多重対数関数はフェルミ分布関数およびボース分布関数の積分を閉じた式で書くときに必要になり、 そのような場合にはフェルミ＝ディラック積分およびボース＝アインシュタイン積分と呼ばれることもある。

多重対数関数(polylogarithm)をen:polylogarithmicな関数と混同しないよう注意すること。 また、似た記法の補正対数積分とも混同しやすい。

参考文献

• Wood, David C. (1992). Technical Report 15-92. University of Kent computing Laboratory, University of Kent, Canterbury, UK.
• Bailey, David; Borwein, Peter B., and Plouffe, Simon (1997). "On the Rapid Computation of Various Polylogarithmic Constants" (PDF). Mathematics of Computation 66 (218): 903-913.
• Bailey, D. H. and Broadhurst, D. J. (1999). "A Seventeenth-Order Polylogarithm Ladder", arXiv:math.CA/9906134
• Vepstas, Linas (2007). "An efficient algorithm for accelerating the convergence of oscillatory series, useful for computing the polylogarithm and Hurwitz zeta functions". arXiv:math.CA/0702243