多角形表記

多角形表記（たかくけいひょうき、polygon notation）とは、多角形を用いた巨大数の表記法である。ユゴー・スタインハウスによって考案され、後にレオ・モーザーによって拡張された。

スタインハウスの多角形表記

スタインハウスの多角形表記は、次のように定義される。

• = nⁿ
• = 「n 重の三角形の中の n 」
• = 「n 重の四角形の中の n 」

この表記を用いて、スタインハウスは次の数を定義した。

• をメガ(Mega)という。
• をメジストン(Megiston)という。

モーザーの多角形表記

モーザーの多角形表記は、スタインハウスのものを拡張し、一般の多角形を用いるようにした。

• 、はスタインハウスのものと同じ。
• = 「n 重の四角形の中の n 」 (= )
• 一般に「m 角形の中の n 」 = 「n 重の m - 1 角形の中の n 」

「角形の中の2」 をモーザー数と言う。

ブラケットでの表記

ヨーク大学のSusan Stepney教授は、自らのサイトで次の代用表記を使っている。

• p 角形の中の n を $n[p]\,$ と表す。
• $[\ldots]$ は必要なだけ繰り返せる。たとえば、p 角形の中の q 角形の中の n は $n[q][p]\,$ と表す。
• k 重の p 角形の中の n を $n[p]_k\,$ と表す。つまり、$n[p]_k = n \underbrace{ [p][p]...[p] }_k$ である。

これを使えば多角形表記の定義は次のようになる。

• $= n[3] = n^n \,$
• $= n[4] = n[3]_n \,$
• $=\,$ $= n[5] = n[4]_n \,$
• 一般に $n[m] = n[m-1]_n \,$

他の例としては：

• $= n[3]_4$

スタインハウスとモーザーが定義した巨大数は次のように表せる。

• （メガ）$= 2[5]$
• （メジストン）$= 10[5]$
• モーザー数 = $2[2[5]]$

計算

簡単な例

• 2[3] = 2² = 4
• 2[4] = 2[3]₂ = 4[3] = 4⁴ = 256

スタインハウスのメガ

= 2[5]

= 2[4]₂

= 2[4][4]

= 256[4]

= 256[3]₂₅₆

256[3]_nを順に見ていくと、

$256[3]=256^{256}$

$256[3]_2=256[3][3]= \left( 256^{256} \right) ^{256^{256}}=256^{256\times 256^{256}}= 256^{256^{257}} = (256 \uparrow) ^2 257$

ここで、↑はクヌースの矢印表記である。

$256[3]_3=256[3]_2[3]= \left( 256^{256^{257}} \right) ^{256^{256^{257}}}=256^{ \left( 256^{257}\times 256^{256^{257}} \right) }=256^{256^{257 + 256^{257}}} = (256 \uparrow) ^2 \left( 257 + 256^{257} \right)$

となる。ここで、きわめて大雑把な「近似」

$256[3]_3= 256^{256^{257 + 256^{257}}} \risingdotseq 256^{256^{256^{257}}} = (256 \uparrow) ^3 257$

を導入する。しかし近似といっても実際は

$256^{256^{257 + 256^{257}}} = \left( 256^{256^{256^{257}}} \right) ^ {256 ^ {257}} \gg 256^{256^{256^{257}}}$

であり、通常の感覚ではまったくかけ離れていることに注意。

同様に、

$256[3]_4 \risingdotseq 256^{256^{256^{256^{257}}}} = (256 \uparrow) ^4 257$

$256[3]_5 \risingdotseq 256^{256^{256^{256^{256^{257}}}}} = (256 \uparrow) ^5 257$

と「近似」できる。したがって、

$= 256[3]_{256} \risingdotseq (256 \uparrow) ^{256} 257$

である。

さらに大雑把な「近似」を認めれば、

$\risingdotseq 256\uparrow\uparrow 257$

と表せる。ただし実際は、

$\gg (256 \uparrow) ^{256} 257 \gg 256\uparrow\uparrow 257$

である。

具体的な値は

$\approx(10\uparrow)^{255} \left( 1.99\times 10^{619} \right)$

に近く、したがって

$10\uparrow\uparrow 257 <$ $< 10\uparrow\uparrow 258$

の範囲にある。

スタインハウスのメジストン

= 10[5] = 10[4]₁₀

スタインハウスのメガの時と似た「近似」によって、およそ

$a[4]\risingdotseq a\uparrow\uparrow (a+1)$

$a[4]\risingdotseq a\uparrow\uparrow (a+1) \risingdotseq a\uparrow\uparrow a \quad \mathrm{ when } \ a \gg 1$ (*)

であるとすると、

$10[4] \risingdotseq 10\uparrow\uparrow 11$

$10[4]_2 = 10[4][4] \risingdotseq (10\uparrow\uparrow 11)\uparrow\uparrow (10\uparrow\uparrow 11)$

ここで、一般のa,b,nについて次のような式を考える。a↑b = a^b に注意すれば、

$\begin{align} (a\uparrow\uparrow b)\uparrow\uparrow n & = (a\uparrow\uparrow b)\uparrow ((a\uparrow\uparrow b) \uparrow\uparrow (n-1)) \\ & = (a\uparrow (a\uparrow (b-1)))\uparrow ((a\uparrow\uparrow b) \uparrow\uparrow (n-1)) \\ & = a\uparrow ((a\uparrow (b-1)) + (a\uparrow\uparrow b) \uparrow\uparrow (n-1)) \\ \end{align}$

a,bが十分に大きければ

$a\uparrow (b-1) \ll (a\uparrow\uparrow b) \uparrow\uparrow (n-1)$

だから、

$(a\uparrow\uparrow b)\uparrow\uparrow n \risingdotseq a\uparrow ((a\uparrow\uparrow b) \uparrow\uparrow (n-1))$

と近似してよい。

これを n が 1 になるまで繰り返せば、

$\begin{align} (a\uparrow\uparrow b)\uparrow\uparrow n &\risingdotseq \underbrace{a\uparrow a\uparrow \cdots \uparrow a}_{n-1} \uparrow ((a\uparrow\uparrow b) \uparrow\uparrow 1) \\ &= \underbrace{a\uparrow a\uparrow \cdots \uparrow a}_{n-1} \uparrow (a\uparrow\uparrow b) \\ &\risingdotseq a\uparrow\uparrow ((n-1) + b) \end{align}$

したがって、$n\gg b$ ならば

$(a\uparrow\uparrow b)\uparrow\uparrow n \risingdotseq a\uparrow\uparrow n$ (**)

と近似してよい。

(**)を用いて、改めて 10[4]₂ を近似すると

$10[4]_2 \risingdotseq 10\uparrow\uparrow (10\uparrow\uparrow 11)$

である。以下同様に(*)と(**)を使えば

$10[4]_3 = 10[4]_2[4] \risingdotseq (10\uparrow\uparrow (10\uparrow\uparrow 11)) \uparrow\uparrow (10\uparrow\uparrow (10\uparrow\uparrow 11)) \risingdotseq 10\uparrow\uparrow (10\uparrow\uparrow (10\uparrow\uparrow 11))= 10\uparrow\uparrow 10\uparrow\uparrow 10\uparrow\uparrow 11 = (10 \uparrow\uparrow)^3 11$

$10[4]_4 = 10[4]_3[4] \risingdotseq 10\uparrow\uparrow 10\uparrow\uparrow 10\uparrow\uparrow 10\uparrow\uparrow 11= (10 \uparrow\uparrow)^4 11$

$10[4]_5 = 10[4]_4[4] \risingdotseq 10\uparrow\uparrow 10\uparrow\uparrow 10\uparrow\uparrow 10\uparrow\uparrow 10\uparrow\uparrow 11 = (10 \uparrow\uparrow)^5 11$

したがって、

$10[4]_{10} \risingdotseq 10 \uparrow\uparrow 10 \uparrow\uparrow 10 \uparrow\uparrow 10 \uparrow\uparrow 10 \uparrow\uparrow 10 \uparrow\uparrow 10 \uparrow\uparrow 10 \uparrow\uparrow 10 \uparrow\uparrow 10 \uparrow\uparrow 11= (10 \uparrow\uparrow)^{10} 11$

であるので、大ざっぱには

$\risingdotseq 10\uparrow\uparrow\uparrow 11$

である。ただし、実際はメガと同様に、

$\gg (10 \uparrow\uparrow)^{10} 11 \gg 10\uparrow\uparrow\uparrow 11$

である。

モーザー数

モーザー数は 2[ ]$= 2[2[5]]$である。先に示したようには相当な巨大数であるので、角形はほとんど円も同然であり、忠実な多角形の図による表記は事実上不可能である。

よりはるかに大きいことは自明で、またよりもはるかに大きい。

しかし、グラハム数よりは圧倒的に小さいことが Tim Chow によって1998年に証明された。[1] この証明によれば、モーザー数 M はチェーン表記を用いて

$M < 3 \rightarrow 3 \rightarrow ((3 \rightarrow 3 \rightarrow 5)\times 2 - 1)$

である。

関連項目

• クヌースの矢印表記
• コンウェイのチェーン表記

外部リンク

• Susan Stepney's Big Numbers
• Weisstein, Eric W., "Steinhaus-Moser notation" - MathWorld.（英語）