四重積 (ベクトル解析)

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四重積とは3次元ユークリッド空間における4つのベクトルであり、ベクトル解析におけるスカラー四重積ベクトル四重積の総称である。

スカラー四重積[編集]

スカラー四重積は2つのクロス積ドット積である。


(\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}) \cdot (\boldsymbol{c} \times \boldsymbol{d})

ここで a, b, c, d は3次元ユークリッド空間のベクトルである。

幾何学的には a, b で張られた面積ベクトルと c, d で張られた面積ベクトルの重なり具合(射影)を表す。

以下の式 (ビネ・コーシーの恒等式)


\begin{align}
(\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}) \cdot (\boldsymbol{c} \times \boldsymbol{d})
&= (\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{c}) (\boldsymbol{b} \cdot \boldsymbol{d})
 - (\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{d}) (\boldsymbol{b} \cdot \boldsymbol{c}) \\
&= \det \begin{pmatrix} 
      \boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{c} & \boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{d}\\
      \boldsymbol{b} \cdot \boldsymbol{c} & \boldsymbol{b} \cdot \boldsymbol{d}
   \end{pmatrix}
\end{align}

が成り立つ。

また、特別な場合である


\|\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b}\|^2 = 
  \|\boldsymbol{a}\|^2 \|\boldsymbol{b}\|^2
- (\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b})^2

も有用な公式でラグランジュの恒等式英語版と呼ばれる。

ベクトル四重積[編集]

ベクトル四重積は2つのクロス積のクロス積である。


(\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}) \times (\boldsymbol{c} \times \boldsymbol{d})

ここで a, b, c, d は3次元ユークリッド空間のベクトルである。

幾何学的には a, b で張られた面と c, d で張られた面の交線に平行なベクトルを表す。

ベクトル三重積の公式を使えば

 
\begin{align}
(\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b} ) \times (\boldsymbol{c}\times \boldsymbol{d}) 
&= [\boldsymbol{a},\boldsymbol{b},\boldsymbol{d}] \boldsymbol{c} 
-  [\boldsymbol{a},\boldsymbol{b},\boldsymbol{c}] \boldsymbol{d} \\
&= [\boldsymbol{a},\boldsymbol{c},\boldsymbol{d}] \boldsymbol{b} 
-  [\boldsymbol{b},\boldsymbol{c},\boldsymbol{d}] \boldsymbol{a} \\
\end{align}

が得られる。ただし [a, b, c] = a・(b×c) である。

2つの異なる右辺が導かれるのは左辺を X×(c×d) とみて展開したか (a×bY とみて展開したかで異なるからである。幾何学的には、交線はそれぞれの平面に含まれるので、点を表すパラメータ表示が2通りあることを意味する。


2つの右辺が等しいことより恒等式


  [\boldsymbol{a},\boldsymbol{b},\boldsymbol{c}] \boldsymbol{r} = 
  [\boldsymbol{r},\boldsymbol{b},\boldsymbol{c}] \boldsymbol{a}
+ [\boldsymbol{a},\boldsymbol{r},\boldsymbol{c}] \boldsymbol{b} 
+ [\boldsymbol{a},\boldsymbol{b},\boldsymbol{r}] \boldsymbol{c}

が得られる。

これは [a, b, c]≠0 の場合、基底 {a, b, c} (正規直交基底とは限らない)における r の成分表示が


\left( 
{ [\boldsymbol{r},\boldsymbol{b},\boldsymbol{c}] \over [\boldsymbol{a},\boldsymbol{b},\boldsymbol{c}] },
{ [\boldsymbol{a},\boldsymbol{r},\boldsymbol{c}] \over [\boldsymbol{a},\boldsymbol{b},\boldsymbol{c}] },
{ [\boldsymbol{a},\boldsymbol{b},\boldsymbol{r}] \over [\boldsymbol{a},\boldsymbol{b},\boldsymbol{c}] }
\right)

であること示す。

あるいは、(a b c)を縦ベクトルを並べてできる3×3行列としたときの連立方程式


(\boldsymbol{a}~ \boldsymbol{b}~ \boldsymbol{c}) \begin{pmatrix}x \\ y \\ z\end{pmatrix} = \boldsymbol{r}

に対するクラメルの公式


\begin{pmatrix}x \\ y \\ z\end{pmatrix} = 
{1 \over 
  \det (\boldsymbol{a}~ \boldsymbol{b}~ \boldsymbol{c})
}
\begin{pmatrix} 
  \det (\boldsymbol{r}~ \boldsymbol{b}~ \boldsymbol{c})\\
  \det (\boldsymbol{a}~ \boldsymbol{r}~ \boldsymbol{c})\\
  \det (\boldsymbol{a}~ \boldsymbol{b}~ \boldsymbol{r})
\end{pmatrix}

と同じである。


なお、

 
(\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b} ) \times (\boldsymbol{a}\times \boldsymbol{c}) 
= [\boldsymbol{a},\boldsymbol{b},\boldsymbol{c}] \boldsymbol{a}

が先の公式の特別な場合として導かれるが、この等式は以下のように導くこともできる。

ab で作られる平面と、 ac で作られる平面との交線は a に平行であることは自明である。また、abc一次従属 ([a, b, c ]=0) すなわち共面であるとき、2つの平面は平行なので左辺は0になる。このことから、右辺は [a, b, c ]a の定数倍であることが導かれる。右手系の正規直交基底を代入することで比例定数が1であることがわかるので、等式が得られる。

参考文献[編集]

関連項目[編集]