同伴行列

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』
移動: 案内検索

線型代数学におけるフロベニウス同伴行列(どうはんぎょうれつ、: companion matrix; コンパニオン行列)とは、モニック多項式

p(t)=c_0 + c_1 t + \cdots + c_{n-1}t^{n-1} + t^n

に対して

C(p)=\begin{bmatrix}
0 & 0 & \dots & 0 & -c_0 \\
1 & 0 & \dots & 0 & -c_1 \\
0 & 1 & \dots & 0 & -c_2 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\
0 & 0 & \dots & 1 & -c_{n-1}
\end{bmatrix}.

と定義される正方行列を言う。慣例的に、基底 v1, …, vn は、C = C(p) が基底を巡回するようにとる。つまり、Cvi = Ci'v1 = vi+1 (i < n) かつ v1K[C]-加群として V を生成する。

文献によってはいま挙げた行列の転置(と双対巡回座標)を採用するものもある。これは線型漸化式に用いるなどの目的でより効果を発揮する。

特徴付け[編集]

多項式 p の同伴行列 C(p) の特性多項式最小多項式と同じく p に一致する[1]。この意味で、行列 C(p) は多項式 p に「同伴」するものであると考えられる。

行列 A が適当な K に係数を持つ n × n 行列とすると、以下は同値:

  • A はその特性多項式の K 上の同伴行列に相似である。
  • A の特性多項式は A の最小多項式に一致する(これは「最小多項式の次数が n である」と言っても同じ)。
  • A に対する巡回ベクトル vV = Kn が存在する。つまり、 {v, Av, A2v, …, An−1v} が V の基底となる。同じことだが、VK[A]-加群として巡回的(かつ V = K[A]/(p(A)) である(このことを以って A は正常 (regular) であるという)。

必ずしもすべての正方行列が何らかの同伴行列に相似なわけではないが、しかし任意の行列が同伴行列をブロックとする区分行列として書くことができる。さらに言えば、そのような同伴行列たちはそれが同伴する多項式たちが互いに他を割り切るように選ぶことができ、それは A によって一意的に決まる。そのようにして得られた区分行列を A有理標準形と呼ぶ(代数閉体上の行列のジョルダン標準形の類似)。

対角化可能性[編集]

n-次の多項式 p(t) が n-個の相異なる根(つまり同伴行列 C(p) の固有値λ1, …, λn を持つならば、同伴行列 C(p) は

V C(p) V^{-1} = \operatorname{diag}(\lambda_1,\dots,\lambda_n)

対角化できる。ただし Vλi たちに対応するヴァンデルモンド行列である。

線型漸化式[編集]

与えられた線型回帰数列の特性多項式が

p(t)=c_0 + c_1 t + \cdots + c_{n-1}t^{n-1} + t^n

であるとき、(転置)同伴行列

C^T(p)=\begin{pmatrix}
0 & 1 & 0 & \cdots & 0\\
0 & 0 & 1 & \cdots & 0\\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & 0 & \cdots & 1\\
-c_0 & -c_1 & -c_2 & \cdots & -c_{n-1}
\end{pmatrix}

は、数列の項を一つ進めるという意味で、当該の数列を生成する。式で書けば

C^T\begin{pmatrix}a_k\\a_{k+1}\\\vdots \\a_{k+n-1}\end{pmatrix}
= \begin{pmatrix}a_{k+1}\\a_{k+2}\\\vdots \\a_{k+n}\end{pmatrix}

が成立する。

c0 = −1 かつ他の全ての i について ci = 0 のとき、即ち p(t) = tn − 1 のとき、行列はシルベスターの巡回時計ずらし行列 (cyclic clock shift matrix) になる。

ベクトル (1,t,t2, …,tn−1) は、t が上記特性多項式の根であるとき、固有値 t に属する固有ベクトルである。

関連項目[編集]

[編集]

  1. ^ Horn, Roger A.; Charles R. Johnson (1985). Matrix Analysis. Cambridge, UK: Cambridge University Press. pp. 146–147. ISBN 0-521-30586-1. http://books.google.com/books?id=f6_r93Of544C&pg=PA147&dq=%22companion+matrix%22&cd=1#v=onepage&q=%22companion%20matrix%22&f=false 2010年2月10日閲覧。.