合同記号

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合同記号(ごうどうきごう)は、元来、合同式の合同(モジュロ)を表すための記号であり、「≡」が使われる。

記号「≡」は、それ以外に、以下の意味:

でも使われる。これらは、記号「≡」を使う以外の記法もあるので、必要に応じ、それらの記法についても述べる。

文字名称は、UnicodeJIS X 0213では「identical to」(~に恒等である)、日本語では「常に等しい/合同」とも呼ばれる。

各々の意味[編集]

合同式[編集]

整数論にて、合同記号の左右の整数の値を括弧内のmodで示した値で割った余りが等しいことを示す「合同式」に用いられる。

歴史[編集]

カール・フリードリヒ・ガウスは、1801年に『Disquisitiones Arithmeticae』で数の合同の記号として使用した。当時の形は

a \equiv b \quad (\text{mod.} \ m)
a \equiv b \quad (\text{modo} \ m)

だった[1]

使用例[編集]

a \equiv b \mod m
a \equiv b \pmod m
a \equiv b \ \bmod \ m
a \equiv b \ (m)

などはいずれも、「abm を法として合同である」すなわち「ab の各々を m で割った余りが等しい」ことを意味する。ここで、「合同記号」とは「≡」のみのことであり、「mod」は含めない。

法が文脈から明らかだったり、法によらず合同式が成立する場合は、

a \equiv b

と法を省略できる。

幾何学的な合同[編集]

≡ ≅ ≌ ≃

歴史[編集]

ゴットフリート・ライプニッツは、1710年ベルリン大学のジャーナル誌であるベルリン論集(Miscellanea Berolinensia)に発表したMonitumで、「≃」(1本線の上にチルダ)を図形の合同を表す目的として使用した[2]

ヨハン・フリードリッヒ・ハセラーは、1777年Anfangsgründe der Arith., Alg., Geom. und Trigで「≌」[3]等号の上に逆チルダ)を使用した[2]

1824年カール・モルワイデが、逆チルダをチルダに変更した「≅」(等号の上にチルダ)を使用するようになった[2]

現在の用法[編集]

現在、多くの国で、モルワイデの「≅」(等号の上にチルダ)を使う[4]

例外的に、日本・韓国[5]では、もっぱら「≡」(3本線)を使う。

ハセラーの「≌」(等号の上に逆チルダ)を使うこともある。

2次元図形に対して使う機会が多いが、3次元以上の場合にも同じ記号が用いられる(1次元以下にも理論上定義できるが使う意義はほとんどない)。

使用例[編集]

\triangle \mathrm{ABC} \equiv \triangle \mathrm{DEF}
\triangle \mathrm{ABC} \cong \triangle \mathrm{DEF}

はいずれも、「三角形ABCと三角形DEFが合同である」ことを意味する。なお、これを

\triangle \mathrm{ABC} = \triangle \mathrm{DEF}

と書くと、「三角形ABCと三角形DEFは面積が等しい」という意味になる。

恒等式[編集]

左辺と右辺が常に等しい「恒等式」を表す。ベルンハルト・リーマン1899年に『楕円関数論』で使用した。

たとえば:

ab \equiv ba

は「常に ab = ba である」ことを表す。

定義する[編集]

≡ ≔ ≜ ≝

左辺を右辺の式で定義するときに使う[6]。これには、「≔」(等号の左にコロン[6]、「≜」(等号の上に三角形[6]、「≝」(等号の上に「def」)[7]も使われる。

たとえば:

f(x) \equiv x ^ 2
f(x) := x ^ 2
f(x) \triangleq x ^ 2
f(x) \overset{\underset{def}{}}= x ^ 2
f(x) \overset{\underset{\mathrm{def}}{}}= x ^ 2

はいずれも、「f(x) を x2 と定義する」あるいは「定義により f(x) = x2 である」ことを意味する。

同値[編集]

≡ = ⇔ ⟺ ↔ ⇌

左辺と右辺の命題もしくは論理式同値であることを表す。E・H・ムーアや、アルフレッド・ノース・ホワイトヘッドバートランド・ラッセルが、1910年に使用した[8]

他に、「=」(等号[8]、「⇔」(二重左右矢印[8]、「⟺」(長い二重左右矢印)[8]、「↔」(一重左右矢印)[8]、「⇌」(右向きと左向きの半分の矢印を上下に重ねたもの)[8]も使う。

たとえば:

P \equiv Q
P = Q
P \Leftrightarrow  Q
P \Longleftrightarrow  Q
P \leftrightarrow  Q
P \rightleftharpoons Q

はいずれも、「PQ が同値である」ことを意味する。

合同否定[編集]

「≢」は、UnicodeとJIS X 0213では「not identical to」(恒等でない)、日本語では「合同否定」とも呼ばれる。

「A ≢ B」は、「A ≡ B でない」ことを意味する。たとえば:

a \not\equiv b \mod m

は、「abm を法として合同でない」すなわち「ab の各々を m で割った余りが異なる」ことを意味する。

符号位置[編集]

記号 Unicode JIS X 0213 文字参照 名称
U+2261 1-2-65 ≡
≡
常に等しい、合同
identical to
U+2243 1-2-76 ≃
≃
漸進的に等しい、ホモトープ
asymptotically equal to
U+2245 1-2-77 ≅
≅
同形
approximately equal to
U+224C ≌
≌
all equal to
U+2262 1-2-75 ≢
≢
合同否定
not identical to

関連項目[編集]

脚注[編集]

  1. ^ Earliest Uses of Symbols of Number Theory
  2. ^ a b c Earliest Uses of Symbols from Geometry
  3. ^ Unicode Consortiumthe Unicode Standard』により、この文字の例示された字体は逆チルダとなっているが、チルダか逆チルダかは異字体の関係でありどちらでもよいと解説されているので、表示環境によってはチルダとなる。
  4. ^ Geometric Congruence -- from Wolfram MathWorld
  5. ^ 작도와 도형의 합동 도형의 합동
  6. ^ a b c Defined -- from Wolfram MathWorld
  7. ^ Thompson, Ambler; Taylor, Barry M (March 2008). Guide for the Use of the International System of Units (SI) — NIST Special Publication 811, 2008 Edition — Second Printing. Gaithersburg, MD, USA: NIST. http://physics.nist.gov/cuu/pdf/sp811.pdf. 
  8. ^ a b c d e f Equivalent -- from Wolfram MathWorld