収斂級数

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数学において、級数収斂(しゅうれん、: converge)あるいは収束するとは、部分和の成す数列収斂することをいう。このとき、与えられた級数は「(有限な)和を持つ」とか「和が有限確定である」などともいい、収斂する級数のことを短く、収斂級数 (convergent series) などともよぶ。

ここで、級数とは数列の項の総和のことであり、与えられた数列 (a1, a2, ..., an, ...) の第 n-部分和とは最初の n-項の有限和

S_n = \sum_{k=1}^n a_k

のことであった。

定義[編集]

厳密に言えば、級数が「通常の意味で」収斂するとは、任意の正の数 ε > 0 に対して十分大きな整数 N = Nε をうまくとれば、nN なる任意の整数 n に対して

|S_n - l| \le \varepsilon

を満たすような ε に依らない定数 l < ∞(部分和の列 (Sn) の極限値)が存在することをいう。収斂しない級数は発散するという。

級数の収斂・発散の例[編集]

  • すべての正の整数の逆数の列から発散級数の例となる
    {1 \over 1}+{1 \over 2}+{1 \over 3}+{1 \over 4}+{1 \over 5}+{1 \over 6}+\cdots \to \infty
    が得られる(調和級数)。
  • 一方、すべての正整数の逆数の交代和(各項の符号が交代的に入れ替わる級数)
    {1 \over 1}-{1 \over 2}+{1 \over 3}-{1 \over 4}+{1 \over 5}-{1 \over 6}+\cdots = \ln 2
    は今度は収斂級数の例になる。
  • すべての正の奇数の逆数の交代和
    {1 \over 1}-{1 \over 3}+{1 \over 5}-{1 \over 7}+{1 \over 9}-{1 \over 11}+\cdots = {\pi \over 4}
    は収斂し、円周率 π のライプニッツの公式と呼ばれる
  • すべての素数の逆数からは
    {1 \over 2}+{1 \over 3}+{1 \over 5}+{1 \over 7}+{1 \over 11}+{1 \over 13}+\cdots \to \infty
    という発散級数が得られる(ゆえに、素数全体の成す集合は組合せ論的な意味で大きい集合である)。
  • すべての三角数の逆数和
    {1 \over 1}+{1 \over 3}+{1 \over 6}+{1 \over 10}+{1 \over 15}+{1 \over 21}+\cdots = 2
    は収斂する。
  • すべての階乗数の逆数和
    \frac{1}{1} + \frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \frac{1}{24}  + \frac{1}{120} + \cdots = e
    は収斂してネイピア数を与える。
  • すべての平方数の逆数和
    {1 \over 1}+{1 \over 4}+{1 \over 9}+{1 \over 16}+{1 \over 25}+{1 \over 36}+\cdots = {\pi^2 \over 6}
    が収斂することはバーゼル問題といい、オイラーが肯定的に解決した。これはリーマン・ゼータ函数の 2 における値 ζ(2) である。
  • すべての2-冪の逆数和
    {1 \over 1}+{1 \over 2}+{1 \over 4}+{1 \over 8}+{1 \over 16}+{1 \over 32}+\cdots = 2
    は収斂級数である(2-冪全体の成す集合は組合せ論的に小さい)。

収斂判定法[編集]

与えられた級数が収斂または発散することの判定法はさまざまなものが知られる。

比較判定法
数列 (an) の各項が、別の数列 (bn) の各項と比較して、任意の n に対し 0 ≤ anbn が成り立つものとする。このとき
  • ∑ bn が収斂するならば ∑ an は収斂する。
  • ∑ an が発散するならば ∑ bn は発散する。
の二つの命題が成り立つ。
ダランベールの比判定法
任意の n に対して an > 0 で、
\lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = 1/r
なる定数 r が存在するものと仮定する。
r > 1 ならば級数は収斂し、r < 1 ならば級数は発散する。r = 1 のときはこの判定法では収斂するとも発散するともいえない。
コーシーの冪根判定法
対象となる級数の各項は非負実数であるものとし、
 \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_n} = 1/r
なる定数 r が存在すると仮定する。
r > 1 ならば級数は収斂し、r < 1 ならば級数は発散するが、r = 1 のときはこの判定法では収斂するとも発散するとも判定することはできない。
比の判定法も冪根の判定法も、幾何級数の挙動と比べることに基づく判定法であり、これらの判定法が有効な場面というのも似通っている。実は、比の判定法が有効な(極限が存在して 1 ではない)とき、冪根判定法は常に有効だが、逆は正しくない。つまり冪根判定法のほうが適用範囲は広いのだが、実用上の問題として、よくある種類の級数に対してこのような冪根の極限を計算することは難しいことが多いという点がある。
積分判定法英語版
与えられた級数をなんらかの積分と比較することで収斂・発散を判定する方法がある。数列 (an) に対して f(n) = an となる正値単調減少函数が存在するならば、
\int_{1}^{\infty} f(x)\, dx = \lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} f(x)\, dx < \infty,
のとき級数は収斂し、積分が発散するならば級数は同様に発散する。
極限比較法英語版
正の項からなる数列 (an), (bn) について、各項の比 an/bn が 0 でない有限な極限をもつならば
\sum_{n=1}^\infty a_n < \infty \iff \sum_{n=1}^\infty b_n < \infty が成り立つ。
ライプニッツの判定法
交代級数の収斂判定法は、
\sum_{n=1}^\infty (-1)^n a_n
の形の交代級数が、正値数列 (an) が単調減少で 0 に収斂するならばもとの級数も収斂する(十分条件)というものである。
コーシーの稠密化判定法英語版
(an) が単調減少列ならば
 \sum_{n=1}^\infty a_n < \infty \iff \sum_{k=1}^\infty 2^k a_{2^{k}} < \infty
が成立する。
ディリクレの判定法英語版
アーベルの判定法英語版
ラーべの判定法英語版

条件収斂と絶対収斂[編集]

対数函数 log(1 + z) の 0 の周りでのテイラー級数の、z = exp(π − i/3) での値の条件収斂の様子を示したもの。この線の長さは無限大である。

任意の数列 (a1, a2, ...) に対して、an ≤ |an| が任意の n について成立するから、

\left|\sum_{n=1}^\infty a_n\right| \le \sum_{n=1}^\infty |a_n|

がわかる。これはつまり、右辺が収斂するならば、もとの級数も収斂することを示している(逆は成り立たない)。

無限級数 ∑|an| が収斂するならば、無限級数 ∑ an絶対収斂 (absolutely convergent) するという。絶対収斂級数の部分和の成す増大列から各値を結んで得られる折れ線は有限の長さを持つ。指数函数のテイラー級数は至る所絶対収斂する。

無限級数 ∑ an が収斂して、無限級数 ∑|an| は発散するならば、無限級数 ∑ an条件収斂 (conditionally convergent) するという。条件収斂級数の部分和の値をつないで得られる線分は長さが無限大となる。対数函数のテイラー級数は収斂域の各点で条件収斂する。

リーマンの級数定理英語版は「条件収斂級数はその項を並べ替えることにより任意の値に収斂させ、あるいは発散させることができる」ということを述べるものである。

条件収斂という代わりに半収斂 (semiconvergent) ということもある。逆に絶対収斂の代わりに無条件収斂 (unconditionally convergent) ともいう。

一様収斂[編集]

(f1, f2, ...) を函数列とする。函数項級数

\sum_{n=1}^\infty f_n

が、函数 f一様収斂 (converge uniformly) するとは

 s_n(x) = \sum_{k=1}^n f_k (x)

で定義される部分和函数列 (sn) が f に一様収斂することを言う。

比較判定法の函数項無限級数における対応物が存在して、ワイエルシュトラスのM判定法と呼ばれる。

コーシーの判定法[編集]

実数列に関するコーシーの判定法によれば、実数を項とする級数

\sum_{n=1}^\infty a_n

が収斂する必要十分条件はその部分和の列がコーシー列を成すことである。きちんと述べれば、任意の正数 ε > 0 に対し正整数 N が存在して、mnN なる全ての m, n について

 \left| \sum_{k=m}^n a_k \right| < \varepsilon

が成り立つということであり、またこれを

\lim_{n \to \infty \atop m\to \infty} \sum_{k=n}^{n+m} a_k = 0

という形に述べることもできる。

関連項目[編集]

参考文献[編集]

  • Rudin, Walter (1976). Principles of Mathematical Analysis. McGrawHill.
  • Spivak, Michael (1994). Calculus (3rd ed.). Houston, Texas: Publish or Perish, Inc. ISBN 0-914098-89-6.

外部リンク[編集]