包除原理

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組合せ数学において、包除原理(ほうじょげんり、包含と排除の原理、: Inclusion-exclusion principle)とはA1, ..., An有限集合としたとき


 \left|\bigcup_i A_i\right|
 =
 \sum_i \left|A_i\right|
 - \sum_{i < j} \left|A_i\cap A_j\right|
 + \cdots
 + (-1)^{n - 1} \left|A_1\cap \cdots \cap A_n\right|

となることをいう。ここで |A| は集合 A濃度をあらわす。例えば、n = 2 のときは、二重計算の特別な場合となる。簡単に言えば、集合 AB和集合の大きさを計算する方法として、まず |A| と |B| を足しあわせ、それらの共通部分の大きさを引き去ることで計算できるというものである。この原理の名称は、あらゆるものを「含め」、その後で「取り除いて」補正をするという考え方に基づいていることからきている。n > 2 のときは、共通部分の除外計算が場合によって非常に困難になってくる。また、公式には符号が交互にあらわれる。

この公式はアブラーム・ド・モアブルによるものと考えられている。時にジェームス・ジョセフ・シルベスターまたはアンリ・ポアンカレによるとも言われる。

たとえば3つの有限集合 A, B, C に対しての包除原理は右図のようにあらわされる。

\begin{align}
 \left| A \cup B \cup C \right| 
 =
 &\left| A \right| + \left| B \right| + \left| C \right| \\
 &\quad - \left| A \cap B \right| - \left| B \cap C \right| - \left| C \cap A \right| \\
 &\qquad + \left| A \cap B \cap C \right|
\end{align}
3つの集合について包除を図示

証明[編集]

包除原理を一般に証明するため、XA1, ..., An上位集合とする。公式はまず恒等式


 1_{\bigcup A_i}
 =
 \sum_i 1_{A_i}
 -\sum_{i < j}1_{A_i \cap A_j} 
 + \cdots 
 + (-1)^{n - 1} 1_{\bigcap A_i}

指示関数の変形でもとめ、全ての xX について足しあわせることで示される。

その他の形[編集]

この原理は時に以下のような形で表される。

g(A)=\sum_{S\,:\,S\subseteq A}f(S)

としたとき、

f(A)=\sum_{S\,:\,S\subseteq A}(-1)^{\left|A\right|-\left|S\right|}g(S)

この形はAの全ての部分集合からなる半順序集合における隣接代数英語版でのメビウスの反転公式となる。

また、包除原理は確率においても以下のように用いられる。


 \Pr\left(\bigcup_i A_i\right)
 =
 \sum_i \Pr\left(A_i\right)
 - \sum_{i < j} \Pr\left(A_i\cap A_j\right)
 + \cdots 
 + (-1)^{n - 1} \Pr\left(\bigcap_i A_i\right)

ボンフェローニの不等式によれば、この公式の始めの k 項の和は左辺の上界下界を交互にとる。このことは公式全体が扱いにくい場合に利用される。

応用[編集]

おそらく、包除原理のもっともよく知られている応用は、組み合わせ問題における有限集合の攪乱(derangement)に対するものであろう。集合Aの攪乱とはAから自分自身への全単射であって不動点を持たないもののことである。包除原理によって、Aの基数(要素数)をnとしたときの攪乱の数が

\left [ \frac {n!}{e} \right ]

となることを示せる。ここで[x]はもっとも近い整数をあたえる関数(nearest integer function)を表す。

これはnのsubfactorialとしても知られ、!nと表す。 これはまた、全ての全単射に等しい確率が与えられた場合、無作為に選ばれた全単射が攪乱となっている確率がnの増加に従い、1/e に素早く近づくことを示している。

この原理によって理論的な公式を求める場合(特にエラトステネスの篩を用いる素数の数え上げ)、誤差評価が困難であるため有効な公式が得られないことが多い。これは、各項が個別には正確に求められてもそれらの相殺の様子を一般的に定式化することが難しい上に、和の項数が非常に多くなってしまうためである。数論において、ヴィーゴ・ブルンはこのような困難を部分的に克服する方法を見出し、これは現代的な篩の理論の端緒となった。ただし、この理論を用いてもたいてい、厳密な公式はもとより漸近公式さえ得られるのもまれで、したがってふるい落とされた集合の大きさの評価を与えるにとどまる。

共通部分の計算[編集]

包除原理とド・モルガンの法則とを合わせることで、共通部分の要素数を計算できる。A を普遍集合、各 i について A_i \subseteq A とし、\overline{A_i}A に関する A_i の補集合を表すものとする。このとき

 \left \vert \bigcap_{i=1}^n A_i \right \vert = \overline{\left \vert \bigcup_{i=1}^n \overline{A_i} \right \vert}

をえる。こうして、共通部分をもとめる問題を和集合をもとめる問題に帰着させることができる。

関連項目[編集]


この記事は、クリエイティブ・コモンズ・ライセンス 表示-継承 3.0 非移植のもと提供されているオンライン数学辞典『PlanetMath』の項目principle of inclusion-exclusionの本文を含む