分解体

抽象代数学において、体 K 上の多項式 P(X) の 分解体（ぶんかいたい、英：splitting field）とは、K の拡大体 L であって、その上で P が一次式

X − a_i

の積に因数分解され、a_i 全体が K 上で L を生成するものをいう。 分解体は必ず存在し、同型を除いて一意に定まることが示せる。 （P が分離的 な場合は）その同型の中での任意性は、P のガロア群により示される。

例えば、K が有理数体 Q であり、

P(X) = X³ − 2

のとき、分解体 L は 1 の原始立方根と 2 の立方根を含む。 従って、

$\begin{align} L & = \mathbb{Q}(\sqrt[3]{2},\omega_2) \\ & = \{a+b \omega_2+c\sqrt[3]{2} +d \sqrt[3]{2} \omega_2+ e \sqrt[3]{2}^2 + f \sqrt[3]{2}^2 \omega_2 \,|\,a,b,c,d,e,f\in\mathbb{Q} \} \end{align}$

である。 ここで、

$\omega_1 = 1 \,$
$\omega_2 = - \frac{1} {2} + \frac {\sqrt{3}} {2} i$
$\omega_3 = - \frac{1} {2} - \frac {\sqrt{3}} {2} i$

は、1 の立方根である。

K を含む代数的閉体 A を取ると、K と A の間に、P の根によって生成される P の分解体 L が一意に存在する。

従って、例えば K が複素数体の部分体の場合、存在は自明である。 他方、一般的な代数的閉包の存在は、一般的に、分解体の結果をツォルンの補題によって極限に渡すことにより示し、これにより循環論法が避けられる。

K の分離拡大 K′ が与えられたとき、K′ のガロア閉包（－へいほう、英：Galois closure） L とは、L が K′ を含む K の最小のガロア拡大であることをいう。 この様なガロア閉包は、K′ の任意の元に対する K 上の全ての最小多項式 P の分解体を含む。

例

• 実数体 R 上の二次式 x² + 1 の分解体は、複素数体 C である。
• 標数 7 の素体 GF₇ 上の二次式 x² + 1 の分解体は、位数 49 のガロア体 GF₄₉ である。 7 は 4 を法として 1 に合同でないことから、−1 は GF₇ 上平方根を持たないからである。
• GF₇ 上の二次式 x² − 1 の分解体は、GF₇ である。 x² − 1 = (x + 1)(x − 1) と GF₇ で一次式の積に因数分解できるからである。

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