優収束定理

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数学測度論の分野におけるルベーグ優収束定理(ゆうしゅうそくていり、: dominated convergence theorem)とは、ある関数列に対して、そのルベーグ積分と、ほとんど至る所での収束という二つの極限操作が可換となるための十分条件について述べた定理である。リーマン積分に対しては、優収束定理は成立しない。なぜならば、リーマン可積分関数の列の極限は多くの場合、リーマン可積分とはならないからである。優収束定理の持つ威力と有用性は、リーマン積分よりもルベーグ積分が理論的に優れているということを示すものである。

この定理は、確率変数期待値の収束のための十分条件を与えるため、確率論の分野において広く利用されている。

定理の内容[編集]

{ƒn} を、可測空間 (S, Σ, μ) 上の実数値可測関数の列とする。この列はある関数 ƒ へと各点収束し、次に述べる意味で、ある可積分関数 g によって支配されるものとする:


    |f_n(x)| \le g(x)
が、列の添え字集合に含まれるすべての数 n および、S 内のすべての x に対して成り立つ。

このとき、関数 ƒ は可積分であり、


    \lim_{n\to\infty} \int_S |f_n-f|\,d\mu = 0

が成り立つ。これはまた \lim_{n\to\infty} \int_S f_n\,d\mu = \int_S f\,d\mu であることも意味する。

注意:

  1. 「g が可積分である」という陳述はルベーグの意味においてである。すなわち、
  \int_S|g|\,d\mu < \infty が成り立つ。
  2. 測度空間 (S, Σ, μ) が完備であるか、あるいは ƒμ に関してほとんど至る所で存在している各点極限と一致するという仮定の下で、定理における関数列の収束性と g により支配されるという性質は μ に関してほとんど至る所においてのみ成立すれば良いという様に緩められる(これらの性質が必要であるのは、μ に関する空集合 N ∈ Σ非可測部分集合英語版が存在するために ƒ が非可測となるような可能性を避けるためである)。
  3. 支配的な可積分関数 g が存在するという条件は、関数列 {ƒn} が一様可積分であるという条件で代替することも出来る(ヴィタリの収束定理を参照されたい)。

定理の証明[編集]

ルベーグの優収束定理はファトウ-ルベーグの定理英語版の特別な場合である。しかし、以下では、ファトウの補題を本質的な道具として用いた、直接的な証明を行う。

ƒ は、g によって支配される可測関数の列 (fn) の各点収束極限であるため、それ自身もまた g によって支配される可測関数であり、したがって、可積分である。さらに、すべての n に対して


    |f-f_n| \le |f| + |f_n| \leq 2g

が成立し(この不等式は後で必要となる)、また


    \limsup_{n\to\infty} |f-f_n| = 0.

が成立する。この二つ目の等式は、f の定義により自明に分かる。ルベーグ積分の線型性および単調性により、


    \biggl| \int_S{f\,d\mu} - \int_S{f_n\,d\mu} \biggr|
    =   \biggl| \int_S{(f-f_n)\,d\mu} \biggr|
    \le \int_S{|f-f_n|\,d\mu}

が得られる。逆ファトウの補題により(ここで上述の、|f-fn| が可積分関数 2g により支配されるという不等式が必要となる)、


    \limsup_{n\to\infty} \int_S |f-f_n|\,d\mu
    \le \int_S \limsup_{n\to\infty} |f-f_n|\,d\mu = 0,

が得られるが、これはその極限が存在し、消失すること、すなわち


    \lim_{n\to\infty} \int_S |f-f_n|\,d\mu= 0

を意味し、したがって定理の主張は示される。

もし定理の仮定が μ に関してほとんど至る所でのみ成立するものであれば、ある μ に関する空集合 N ∈ Σ が存在し、関数 ƒn1NS 上の至る所でそれらの仮定を満たす。すると、 ƒ(x) は xS \ N に対して ƒn(x) の各点収束極限であり、また xN に対して ƒ(x) = 0 であるため、ƒ は可測である。その積分の値は、μ に関する空集合 N には影響されない。

仮定についての考察[編集]

関数列がある可積分関数 g によって支配されるという仮定は、除外することが出来ない。このことは次の例によって分かる: 区間 (0, 1/n] 内の x に対しては ƒn(x) = n であり、それ以外の x に対しては ƒn(x) = 0 であるような関数の列 {ƒn} を定義する。この列を支配するような g が存在するとしたら、それは各点上限 h = supn ƒn も支配しなければならない。今、


    \int_0^1 h(x)\,dx
    \ge \int_{1/m}^1{h(x)\,dx}
    =   \sum_{n=1}^{m-1} \int_{\left(\frac1{n+1},\frac1n\right]}{n\,dx}
    =   \sum_{n=1}^{m-1} \frac{1}{n+1}
    \to \infty \quad \text{as }m\to\infty

であることが、調和級数の発散性により分かる。したがって、ルベーグ積分の単調性により、そのような関数列を [0,1] 上で支配するような可積分関数は存在しないことが分かる。次のような直接的な計算により、この場合の関数列の積分と各点収束の計算の順序は交換できないことが分かる:


    \int_0^1 \lim_{n\to\infty} f_n(x)\,dx = 0 \neq 
    1 = \lim_{n\to\infty}\int_0^1 f_n(x)\,dx

(この関数列の各点収束の極限はゼロ関数である)。関数列 {ƒn} は一様可積分ですらないため、ヴィタリの収束定理を適用することも出来ない。

有界収束定理[編集]

優収束定理の一つの系として、次に述べる有界収束定理がある: もし ƒ1, ƒ2, ƒ3, … が一様有界実数値可測関数からなる関数列で、有界な測度空間 (S, Σ, μ) (すなわち、μ(S) が有限)上である関数 ƒ へと各点収束するなら、その極限 ƒ は可積分関数であり、


    \lim_{n\to\infty} \int_S{f_n\,d\mu} = \int_S{f\,d\mu}

が成り立つ。

注意: この関数列の各点収束性と一様有界性は、測度空間 (S, Σ, μ) が完備であるか、あるいは ƒμ に関してほとんど至る所に存在する各点収束の極限と一致するという仮定の下で、μ に関してほとんど至る所においてのみ成立すれば良いという様に条件を緩めることが出来る。

証明[編集]

考えている関数列が一様有界であるため、ある実数 M が存在して、すべての xS とすべての n に対して |ƒn(x)| ≤ M が成立する。すべての xS に対して関数 g(x) = M を定義する。すると、考えている関数列は g によって支配され、また g は有限測度の集合上の定数関数であることから可積分である。したがって、優収束定理を適用することによって定理は証明される。

もしも定理の仮定が μ に関してほとんど至る所でのみ成立するのであれば、ある μ に関する空集合 N ∈ Σ が存在して、関数 ƒn1NS 上の至る所でその定理の仮定を満たす。

Lp空間における優収束(系)[編集]

(\Omega,\mathcal{A},\mu)測度空間とし、p\ge1 を実数とし、\left(f_n\right)\mathcal{A}-可測関数 f_n:\Omega\to\R\cup\{\infty\} からなる関数列とする。

関数列  \left( f_n \right) は、\mu に関してほとんど至る所である \mathcal{A}-可測関数  f に収束し、ある\,g\in L^p によって支配される、すなわち、すべての  n \in \mathbb{N} に対して  |f_{n}| \leq g \mu に関してほとんど至る所で成立する、ということを仮定する。

このとき、 f と同様にすべての f_nL^p に属し、関数列  \left( f_n \right) Lpの意味において  f へと収束する。すなわち

\lim_{n \rightarrow \infty}\|f_n-f\|_p =\lim_{n \rightarrow \infty}\left(\int_\Omega |f_n-f|^p \,d\mu\right)^{1/p} = 0

が成立する。

証明のアイデア: 関数列 h_n = |f_n-f|^p と、それを支配する関数 (2g)^p に対して、元の定理を適用すれば良い。

拡張[編集]

優収束定理は、バナッハ空間に値を取る可測関数に対しても、上述のように非負かつ可積分である支配関数が用意されることで、適用可能となる。

関連項目[編集]

参考文献[編集]

  • Bartle, R.G. (1995). The elements of integration and Lebesgue measure. Wiley Interscience. 
  • Royden, H.L. (1988). Real analysis. Prentice Hall. 
  • Williams, D. (1991). Probability with martingales. Cambridge University Press. ISBN 0-521-40605-6.