体積予想

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結び目理論という数学の分野では、体積予想(volume conjecture)は、次のように結び目の量子不変量英語版(quantum invariant)と結び目補空間双曲幾何学とを関係付ける予想である。

O で自明な結び目を表わすとする。任意の結び目 K に対し、\langle K\rangle_NK のカシャエフ(Kashaev)不変量を表わす。カシャエフの不変量は、KN-色付きジョーンズ多項式 J_{K,N}(q) の評価式

\langle K\rangle_N=\lim_{q\to e^{2\pi i/N}}\frac{J_{K,N}(q)}{J_{O,N}(q)}

と一致する。従って、体積予想は、

\lim_{N\to\infty} \frac{2\pi\log |\langle K\rangle_N|}{N} = \operatorname{vol}(K), \,

ということとなる。ここに、vol(K) は3-球面英語版(3-sphere)の中の K の補空間の双曲体積英語版(hyperbolic volume)である。

カシャエフの観察[編集]

Kashaev (1997) では、結び目  K のある状態和の漸近的振る舞いが、結び目補空間の双曲体積英語版(hyperbolic volume) \operatorname{vol}(K) を与えることに気づき、結び目 4_1, 5_26_1 に対し、このことが正しいことを確かめた。そして、彼は、一般の双曲結び目英語版(hyperbolic knot)に対し、式 (2) が成り立つことを予想した。彼の結び目 K に対する不変量は、1 の N-乗根 q=\exp{(2\pi i/N)} での量子二重対数英語版(quantum dilogarithm)を基礎としている。

色付きジョーンズ不変量[編集]

Murakami & Murakami (2001) は、始めて、カシャエフの予想がジョーンズ多項式との関係を、1の 2N乗根で q を置き換えること、つまり、\exp{\frac{i\pi}{N}} とすることにより示した。彼らは、R-行列英語版(R-matrix)を、2つの値の同値性を離散フーリエ変換として使った。

チャーン・サイモンズ理論との関係[編集]

複素数化を使い、Murakami et al. (2002)は、式 (1) を、

\lim_{N\to\infty} \frac{2\pi\log |\langle K\rangle_N|}{N} = \operatorname{vol}(S^3\backslash K) +\ CS(S^3\backslash K)

 

 

 

 

(3)

へ書き換えた。ここに CS(S^3\backslash K)チャーン・サイモンズ不変量と呼ばれる。彼らは、複素数化された色付きジョーンズ多項式とチャーン・サイモンズ理論との間に明確な関係があることを、数学的な観点から示した。

参考文献[編集]