位相空間 (物理)

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物理学における位相空間(いそうくうかん、Phase space)とは、粒子質点)の位置運動量(または速度)のおのおのの x,y,z 成分を座標(直交軸)とする空間のことである。 数学における位相空間(topological space)と区別するために、相空間と呼ぶ流儀もある。


1つの粒子(質点)の状態はその位置と運動量(または速度)を与えると定まるから、6次元空間である位相空間内の1つの点(状態点)に対応し、時間の経過とともにその状態点は1本の軌跡を描く。 またN個の粒子系(質点系)の状態は位相空間内のN個の点の分布に対応し、時間とともにその分布が変化する。

N 個の粒子系では上記「分布」表現ではなく、N個の粒子のおのおのの位置、運動量(または速度)の各成分に1つずつの座標を割り当てた6N 次元の空間を考え、粒子系の状態をこの6N次元空間の1つの点(状態点)に対応させることも出来る。 この6N次元空間も位相空間という。 そして時間の経過によりその状態点が6N次元位相空間内で1本の軌跡を描く。

例-- 一次元調和振動子: 一次元で粒子が一つなので位相空間は2次元であり、その上の点は、x を位置、p を運動量とおくと、(x, p) であらわされる。

ハミルトニアンは、k をばね係数とすれば、

 H = {1 \over {2m} } {p}^2 + {1 \over 2} k x^2

であらわされるから、エネルギーが一定の条件下で振動する場合、位相空間(ここでは平面)での一次元調和振動子の描く軌跡は(楕)円形となる。

量子力学では、不確定性原理のため位置と運動量を同時に決めることはできないので、量子(粒子に相当)の状態は位相空間上の点の代わりに測定値の確率分布を与える波動関数で表現されることになる。

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