仮数

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仮数 (mantissa) と指数 (exponent) を使って数値を表す浮動小数点数

仮数(かすう)とは、浮動小数点数の一部で、有効数字を構成する部分である。英語では significandcoefficientmantissa などと呼ぶ(後述)。指数の表現によって、整数で表される場合もあるし、小数で表される場合もある。

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123.456 78 という数を、仮数部が整数の十進浮動小数点数で表すと、仮数は12345678、指数は −5 となる。従ってその値は次の式で表される(指数表記)。

12 345 678 × 10−5

同じ値を正規化表現することもでき、仮数を 1.2345 という小数で表し、指数を +2 とする。

1.234 5678 × 10+2

最後に、同じ値を言語独立算術英語版規格で指定されたフォーマットで表現することもでき、AdaC言語FORTRANModula-2 などがこの規格に従っている。

0.123 456 78 × 10+3

なお、第9回 CGPM(1948,決議7)[1]及び第22回 CGPM(2003,決議10)[2]により、小数部を3桁毎にスペース(又は半角スペース)で区切るのが通例である[3]

仮数と hidden bit[編集]

二進法で浮動小数点数を表す場合、仮数は二進数で表され、その桁数(つまりビット幅)が特徴となる。常に正規化されるため、仮数の最上位ビットは常に1となるので、一般にはそのビットを格納せず "hidden bit" や「けち表現」などと呼ぶ。仮数のビット幅を数える際、この hidden bit を加える場合と加えない場合がある。例えば、IEEE 754倍精度形式は、hidden bit を含めるか否かによって仮数のビット幅を53ビットと言ったり、52ビットと言ったりする。hidden bit があるのは二進表現の場合のみである。IEEE 754 は精度 p を仮数の桁数と定義しており、その際に暗黙の前置されるビットも含むとしている(例えば、倍精度形式の精度 p は 53 である)。

英語での呼称[編集]

significand有効数字を意味する "significant digits" に由来し(20世紀にできた新語)、coefficient は通常「係数」と訳されるが、指数部に付属する係数という意味で仮数も意味する。

アメリカ英語では、もともと仮数を mantissa と呼んでいた (Burks et al.)。計算機科学者の間では今(2005年)でもよく使われている。しかし、IEEE 754 の浮動小数点規格を策定した委員会は、mantissa のこのような用法を好ましくないとしており、ウィリアム・カハンドナルド・クヌースといった専門家も同意見である[要出典]。というのも、mantissa はもともと対数の小数点以下の部分を指す用語として使われているためである。

mantissa の本来の意味である対数の小数点以下の部分は、(底が同じ)浮動小数点数の仮数の対数に(正規化に依存する)ある定数を加えたものに等しい。一方、浮動小数点数の指数部は対数の整数部分に対応する。

\qquad\log_{a}(xa^p)=\log_{a}x+p

mantissa が対数の小数点以下を指す用法は18世紀まで遡り、さらに古くは "minor addition"(小さな付加)を意味する言葉だった。

引用[編集]

  1. ^ [1] Resolution 7 of the 9th meeting of the CGPM (1948) "Numbers may be divided in groups of three in order to facilitate reading; neither dots nor commas are ever inserted in the spaces between groups."
  2. ^ [2] Resolution 10 of the 22nd meeting of the CGPM (2003) reaffirms that "Numbers may be divided in groups of three in order to facilitate reading; neither dots nor commas are ever inserted in the spaces between groups", as stated in Resolution 7 of the 9th CGPM, 1948.
  3. ^ 「国際文書第8版(2006) 国際単位系SI)日本語版」[[3]]pp.45-46

参考文献[編集]

  • Burks, Arthur W.; Goldstine, Herman H.英語版; Von Neumann, John (1946). Preliminary discussion of the logical design of an electronic computing instrument. Technical Report, Institute for Advanced Study, Princeton, NJ. In Von Neumann, Collected Works, Vol. 5, A. H. Taub, ed., MacMillan, New York, 1963, p. 42:
    5.3. 'Several of the digital computers being built or planned in this country and England are to contain a so-called "floating decimal point". This is a mechanism for expressing each word as a characteristic and a mantissa—e.g. 123.45 would be carried in the machine as (0.12345,03), where the 3 is the exponent of 10 associated with the number.'