交換関係

より一般的な導入として、交換子も参照

交換関係（こうかんかんけい、英: commutation relation）は演算子としてあらわされた物理量が満たす量子力学特有の関係。

定義 [編集]

二つの演算子（ $A$ 、 $B$ とする）に対して、

$AB-BA\equiv[A,B]$

を交換子^[1]と言う。交換子も演算子であり、特に $A$ 、 $B$ がともにエルミートであるとき、交換子は歪エルミートとなる。量子力学において、この交換子を規定する関係が交換関係である。

普通の数はかける順序を逆にしても値は同じだが、量子力学における演算子は必ずしもそうではなく、 $[A, B]$ が $0$ にならない場合がある。 $[A, B] = 0$ のとき、 $A$ と $B$ は可換である、あるいは $A$ と $B$ は交換するという。 $[A, B] \neq 0$ のとき、 $A$ と $B$ は非可換である、あるいは $A$ と $B$ は交換しないという。

性質 [編集]

交換子で定義される交換関係は次の性質を満たす。

$[A,A]=0$
$[A,B]=-[B,A]$ （交代性）
$[A,B+C]=[A,B]+[A,C]$ （線形性）
$[A,BC]=[A, B]C+B[A,C]$ （ライプニッツ則）
$[[A,B],C]+[[B,C],A]+[[C,A],B]=0$ （ヤコビの恒等式）

正準交換関係 [編集]

演算子には物理量に対応するものがあり、特に正準共役な変数同士の交換関係を正準交換関係^[2]と言う。正準共役な関係にある、座標と運動量において、座標を $q_i$ 、運動量を $p_j$ とすると、

$[q_i,p_j]=q_i p_j-p_j q_i=i \hbar \delta_{ij}$

という交換関係が成り立つ（ $\hbar=h/2\pi$ で $h$ はプランク定数）。勿論、古典論では上記の結果はゼロ（ $[q,p]=0$ ）となる。

反交換関係 [編集]

$AB+BA\equiv\{A,B\}$

を反交換子^[3]といい、これから規定される関係を、反交換関係 と言う。特に正準共役な変数同士の反交換関係を正準反交換関係^[4]と言う。 $[A,\, B]_{+}$ という表式もしばしば用いられる。反交換子もまた演算子であり、特に $A$ 、 $B$ がともにエルミートであるとき、反交換子もまたエルミートとなる。反交換関係はフェルミ粒子などを扱う際に用いられる。