交換関係

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より一般的な導入として、交換子も参照

交換関係(こうかんかんけい、: commutation relation)は演算子としてあらわされた物理量が満たす量子力学特有の関係。

定義[編集]

二つの演算子(AB とする)に対して、

AB-BA\equiv[A,B]

交換子[1]と言う。交換子も演算子であり、特に AB がともにエルミートであるとき、交換子は歪エルミートとなる。量子力学において、この交換子を規定する関係が交換関係である。

普通の数はかける順序を逆にしても値は同じだが、量子力学における演算子は必ずしもそうではなく、[A, B]0 にならない場合がある。[A, B] = 0 のとき、AB可換である、あるいは AB交換するという。[A, B] \neq 0 のとき、AB非可換である、あるいは AB交換しないという。

性質[編集]

交換子で定義される交換関係は次の性質を満たす。

正準交換関係[編集]

演算子には物理量に対応するものがあり、特に正準共役な変数同士の交換関係を正準交換関係[2]と言う。正準共役な関係にある、座標運動量において、座標を q_i、運動量を p_j とすると、

[q_i,p_j]=q_i p_j-p_j q_i=i \hbar \delta_{ij}

という 交換関係が成り立つ(\hbar=h/2\pihプランク定数)。勿論、古典論では上記の結果はゼロ([q,p]=0)となる。

反交換関係[編集]

AB+BA\equiv\{A,B\}

反交換子[3]といい、これから規定される関係を、反交換関係 と言う。特に正準共役な変数同士の反交換関係を正準反交換関係[4]と言う。[A,\, B]_{+}という表式もしばしば用いられる。反交換子もまた演算子であり、特に AB がともにエルミートであるとき、反交換子もまたエルミートとなる。反交換関係はフェルミ粒子などを扱う際に用いられる。

ポアソンの括弧式[編集]

解析力学において、 正準座標 q正準運動量 p の関数 A(q,p)B(q,p) に対して、

\{A,B\}\equiv\frac{\partial A}{\partial q}\frac{\partial B}{\partial p}-\frac{\partial A}{\partial p}\frac{\partial B}{\partial q}

で定められる量をポアソンの括弧式という。 ポアソンの括弧式は次のような関係式を満たしている。

交換関係と同様の関係式を満たしており、量子力学での交換関係は古典力学のポアソンの括弧式に相当する。(正準量子化の項も参照)

脚注[編集]

  1. ^ : commutator
  2. ^ : canonical commutation relations、CCR
  3. ^ : anticommutator
  4. ^ : canonical anticommutation relations、CAR

関連項目[編集]