乗算器

乗算器（じょうざんき）とは、二つ数の乗算を行うための電子回路であり、#デジタル乗算器と#アナログ乗算器がある。

デジタル乗算器

デジタルに乗算を実行する回路で、演算装置の一種である。

デジタル乗算器を実装するには様々な技法が考えられる。 多くの技法は分割した部分の積を計算し、それを加算してまとめることで実現する。 このやり方は、小学校で習う十進整数の筆算による乗算と似ている。 しかし、乗算器ではそれを二進数で実現する。

符号無整数の場合の例

ここでは、例示のために8ビットの符号無整数の乗算について説明する。 乗算器の入力であるふたつの数を $a[7:0]$ と $b[7:0]$ とし、ビット配列とみなす。 この場合、8回の 1ビット乗算で 8つの部分積を求める。$a$の各ビットを$b$にかける。 つまり、それは $a$ のビットを取り出して、その値に応じて $00000000$ か $11111111$ のどちらかのビットパターンを作り、ビット演算で論理積（$\mbox{AND}$）を実行するのと等しい。

$\begin{cases} p_0[7:0] = a[0] \times b[7:0] = \{a[0]\}\ \mbox{AND}\ b[7:0]\\ p_1[7:0] = a[1] \times b[7:0] = \{a[1]\}\ \mbox{AND}\ b[7:0]\\ p_2[7:0] = a[2] \times b[7:0] = \{a[2]\}\ \mbox{AND}\ b[7:0]\\ p_3[7:0] = a[3] \times b[7:0] = \{a[3]\}\ \mbox{AND}\ b[7:0]\\ p_4[7:0] = a[4] \times b[7:0] = \{a[4]\}\ \mbox{AND}\ b[7:0]\\ p_5[7:0] = a[5] \times b[7:0] = \{a[5]\}\ \mbox{AND}\ b[7:0]\\ p_6[7:0] = a[6] \times b[7:0] = \{a[6]\}\ \mbox{AND}\ b[7:0]\\ p_7[7:0] = a[7] \times b[7:0] = \{a[7]\}\ \mbox{AND}\ b[7:0] \end{cases}$

次に最終的な積を求めるため、部分積を以下のように足し合わせる。

$p_0[7]$

$p_0[6]$

$p_0[5]$

$p_0[4]$

$p_0[3]$

$p_0[2]$

$p_0[1]$

$p_0[0]$

$+$

$p_1[7]$

$p_1[6]$

$p_1[5]$

$p_1[4]$

$p_1[3]$

$p_1[2]$

$p_1[1]$

$p_1[0]$

$0$

$+$

$p_2[7]$

$p_2[6]$

$p_2[5]$

$p_2[4]$

$p_2[3]$

$p_2[2]$

$p_2[1]$

$p_2[0]$

$0$

$0$

$+$

$p_3[7]$

$p_3[6]$

$p_3[5]$

$p_3[4]$

$p_3[3]$

$p_3[2]$

$p_3[1]$

$p_3[0]$

$0$

$0$

$0$

$+$

$p_4[7]$

$p_4[6]$

$p_4[5]$

$p_4[4]$

$p_4[3]$

$p_4[2]$

$p_4[1]$

$p_4[0]$

$0$

$0$

$0$

$0$

$+$

$p_5[7]$

$p_5[6]$

$p_5[5]$

$p_5[4]$

$p_5[3]$

$p_5[2]$

$p_5[1]$

$p_5[0]$

$0$

$0$

$0$

$0$

$0$

$+$

$p_6[7]$

$p_6[6]$

$p_6[5]$

$p_6[4]$

$p_6[3]$

$p_6[2]$

$p_6[1]$

$p_6[0]$

$0$

$0$

$0$

$0$

$0$

$0$

$+$

$p_7[7]$

$p_7[6]$

$p_7[5]$

$p_7[4]$

$p_7[3]$

$p_7[2]$

$p_7[1]$

$p_7[0]$

$0$

$0$

$0$

$0$

$0$

$0$

$0$

$P[15]$

$P[14]$

$P[13]$

$P[12]$

$P[11]$

$P[10]$

$P[9]$

$P[8]$

$P[7]$

$P[6]$

$P[5]$

$P[4]$

$P[3]$

$P[2]$

$P[1]$

$P[0]$

別の言い方をすると、$P[15:0]$ は $p_0$ ＋ $p_1$の1ビット左シフト ＋ $p_2$の2ビット左シフト ＋ … ＋ $p_{15}$の15ビット左シフトに等しく、最終的に 符号なしの16ビットの積が求められる。

符号付整数の場合

$b$ が符号付整数だった場合、部分積を符号拡張した上で足し合わせる必要がある。$a$ が符号付整数だった場合、部分積の $p[7]$ を足すのではなく、それ以外の合計から引かなければならない。

上で説明した乗算器を2の補数による符号付整数を扱えるように修正するには、足し合わせる際に以下のように一部の項を逆転させ、かつ $p[0]$ と $p_7$ の左端に $1$ を補う。ここで負号（$-$）の意味に注意されたい。これは符号の反転ではなく、ビットの反転である。各部分積 $p_i$ の最上位ビットが反転されているのは、符号拡張を省くためである。$p_7$ が逆に最上位以外のビットが反転されているのは、減算を加算で表すためである。これは2の補数の性質を巧妙に利用したものである。

$1$

$-p_0[7]$

$+p_0[6]$

$+p_0[5]$

$+p_0[4]$

$+p_0[3]$

$+p_0[2]$

$+p_0[1]$

$+p_0[0]$

$-p_1[7]$

$+p_1[6]$

$+p_1[5]$

$+p_1[4]$

$+p_1[3]$

$+p_1[2]$

$+p_1[1]$

$+p_1[0]$

$0$

$-p_2[7]$

$+p_2[6]$

$+p_2[5]$

$+p_2[4]$

$+p_2[3]$

$+p_2[2]$

$+p_2[1]$

$+p_2[0]$

$0$

$0$

$-p_3[7]$

$+p_3[6]$

$+p_3[5]$

$+p_3[4]$

$+p_3[3]$

$+p_3[2]$

$+p_3[1]$

$+p_3[0]$

$0$

$0$

$0$

$-p_4[7]$

$+p_4[6]$

$+p_4[5]$

$+p_4[4]$

$+p_4[3]$

$+p_4[2]$

$+p_4[1]$

$+p_4[0]$

$0$

$0$

$0$

$0$

$-p_5[7]$

$+p_5[6]$

$+p_5[5]$

$+p_5[4]$

$+p_5[3]$

$+p_5[2]$

$+p_5[1]$

$+p_5[0]$

$0$

$0$

$0$

$0$

$0$

$-p_6[7]$

$+p_6[6]$

$+p_6[5]$

$+p_6[4]$

$+p_6[3]$

$+p_6[2]$

$+p_6[1]$

$+p_6[0]$

$0$

$0$

$0$

$0$

$0$

$0$

$1$

$+p_7[7]$

$-p_7[6]$

$-p_7[5]$

$-p_7[4]$

$-p_7[3]$

$-p_7[2]$

$-p_7[1]$

$-p_7[0]$

$0$

$0$

$0$

$0$

$0$

$0$

$0$

$P[15]$

$P[14]$

$P[13]$

$P[12]$

$P[11]$

$P[10]$

$P[9]$

$P[8]$

$P[7]$

$P[6]$

$P[5]$

$P[4]$

$P[3]$

$P[2]$

$P[1]$

$P[0]$

なお、乗数も被乗数も負の場合算術オーバーフローが発生するが、無視すればよい。

実装

古い乗算器アーキテクチャでは、シフターとアキュムレータを使って部分積を足し合わせる必要があった。 また、部分積ひとつを計算するのに 1クロックサイクルを要した。 最近の乗算器アーキテクチャは、ウォレイス木と呼ばれるものに似ていて、1クロックサイクルで部分積をすべて加算する。 ウォレイス木型乗算器の性能をさらに向上させるためには、被乗数の一方にブースの乗算アルゴリズムを施して加算すべき部分積の数を減らす。

アナログ乗算器

トランジスタによる乗算回路

アナログに乗算を実行する回路で、周波数帯域の変換等に用いられる。 一般的な実装方法は $AB=\mathrm{e}^{\log{}A+\log{}B}$ という等式を利用するものである。

基本的な原理は次のものである。

1. バイポーラトランジスタで $V_{BE}\propto\log{}I_C$ となることを利用して、入力信号の対数を得る。
2. オペアンプで加算する。
3. 1と同様に $I_C\propto\mbox{e}^{V_{BE}}$ を利用して2.で得た和の指数を取る(これが2数の積)。

（ただし、アナログ回路なので実際には各ステップは、ほぼ瞬時に進む。）

2の部分を減算に変更すれば、同様の原理で除算も可能。

詳細は「混合器 (ヘテロダイン)」を参照

関連項目

• ブースの乗算アルゴリズム
• 積和演算
• 混合器 (ヘテロダイン)

外部リンク

• Multiplier Designs