一般ディリクレ級数

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一般ディリクレ級数(いっぱんでぃりくれきゅうすう、: general Dirichlet series)とは、

複素数\scriptstyle\{a_n\}_{n\ge 0}、無限大に発散する狭義の単調増加列 \scriptstyle\{\lambda_n\}_{n\ge 0} および複素数 s に対して、


\sum_{n=1}^{\infty}a_n e^{-\lambda_ns}

で表される級数のことをいう。指数型のディリクレ級数または広義のディリクレ級数ともいう。

特に、\lambda_n = \log n のとき、


\sum_{n=1}^{\infty}\frac{a_n}{n^s}

であり、(通常)ディリクレ級数となる。

また、\lambda_n = nz = e^{-s} とすると、


\sum_{n=1}^{\infty}a_n z^n

と、ベキ級数になる。


s を変数とみなし、一般ディリクレ級数の収束性を問わないとき、形式的一般ディリクレ級数 (formal general Dirichlet series)という。


収束性[編集]

収束軸[編集]

任意の一般ディリクレ級数に対して、次のいずれかが成り立つ。

  1. 任意の複素数 s に対して、一般ディリクレ級数は収束する。
  2. 任意の複素数 s に対して、一般ディリクレ級数は発散する。
  3. 一般ディリクレ級数が \scriptstyle\operatorname{Re}\ s > \sigma_c を満たす複素数 s に対して収束し、\scriptstyle\operatorname{Re}\ s < \sigma_c を満たす複素数 s に対して発散する様な実数 \scriptstyle\sigma_c が存在する。


この \scriptstyle\sigma_c を一般ディリクレ級数の収束軸 (line of convergence)または収束座標 (abscissa of convergence)という。 収束軸について、一般ディリクレ級数が常に収束するときは \scriptstyle-\infty、常に発散する場合は \scriptstyle+\infty と定める。


収束軸の値の求め方

一般ディリクレ級数


\sum_{n=1}^{\infty}a_n e^{-\lambda_ns}

の収束軸 \scriptstyle\sigma_c の値は、以下の様に求められる。

  • \textstyle s_n = \sum_{k=1}^na_k が発散する場合
    \sigma_c = \limsup_{n\to\infty}\frac{\log |s(n)|}{\lambda_n}
  • \textstyle s_n = \sum_{k=1}^na_k が収束する場合
    \sigma_c = \limsup_{n\to\infty}\frac{\log|a_n + a_{n+1} + \cdots|}{\lambda_n}

また、


\sigma_c = \limsup_{x\to\infty}\frac{1}{x}\log\left|\sum_{[x]\le\lambda_n<x}\!\!\!\!a_n\right|

という式も知られている。


絶対収束性[編集]

一般の級数のときと同じく、


\sum_{n=1}^{\infty}|a_n| e^{-\lambda_ns}

が収束するとき、一般ディリクレ級数


\sum_{n=1}^{\infty}a_n e^{-\lambda_ns}

絶対収束するという。

絶対収束する複素数 s に対する、\operatorname{Re}\ s の下限を絶対収束軸 (line of absolute convergence)または絶対収束座標 (abscissa of absolute convergence)という。 絶対収束軸について、一般ディリクレ級数がすべての点で絶対収束するときは \scriptstyle-\infty、常に絶対収束しない場合は \scriptstyle+\infty と定める。


ディリクレ級数の場合、ある点で収束すれば絶対収束する点が存在するが(ディリクレ級数の絶対収束性を参照)、ある点で収束しても、すべての点で絶対収束しない一般ディリクレ級数が存在する。

例えば


\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}e^{-s\log\log n}

は、すべての複素数 s に対して収束するが、絶対収束することはない。

一般に、収束軸が有限の値 \scriptstyle\sigma_c を持ち、


\limsup_{n\to\infty}\frac{\log n}{\lambda_n}

が有限の値 α をとるならば、絶対収束軸 \scriptstyle\sigma_a は有限の値を持ち、\scriptstyle 0\le\sigma_a - \sigma_a \le \alpha [1]であることが知られている。


絶対収束軸は、先に述べた収束軸の値を求める公式を用いて、以下の様に与えられる。

一般ディリクレ級数


\sum_{n=1}^{\infty}a_ne^{-\lambda_ns}

の絶対収束軸 \scriptstyle\sigma_a の値は、以下の様に求められる。

  • \textstyle s_n = \sum_{k=1}^n|a_k| が発散する場合
    \sigma_a = \limsup_{n\to\infty}\frac{\log s(n)}{\log n}
  • \textstyle s_n = \sum_{k=1}^n|a_k| が収束する場合
    \sigma_a = \limsup_{n\to\infty}\frac{\log(|a_n| + |a_{n+1}| + \cdots)}{\log n}

また、


\sigma_a = \limsup_{x\to\infty}\frac{1}{x}\log\left(\sum_{[x]\le\lambda_n<x}\!\!\!\!|a_n|\right)

が成り立つ。

一様収束性[編集]

一般ディリクレ級数を


f(s) = \sum_{n=1}^{\infty}a_ne^{-\lambda_ns}

として、s を変数とする関数とみなすと、f(s) の一様収束性が問題となる。


一般ディリクレ級数の一様収束性について、収束軸 \scriptstyle\sigma_c および絶対収束軸 \scriptstyle\sigma_a が有限の値であるならば、 このとき、


\sigma_c\le\sigma_u\le\sigma_a
[2]

を満たす実数 \scriptstyle\sigma_u が存在して、\scriptstyle\operatorname{Re}\ s>\sigma_u を満たす複素数 s に対して、f(s) は一様収束するが、\scriptstyle\operatorname{Re}\ s < \sigma_u を満たす複素数 s に対して、f(s) は一様収束しない。 

この \scriptstyle\sigma_u を、一様収束軸 (line of uniform convergence)または一様収束座標 (abscissa of uniform convergence)という。 一様収束軸について、一般ディリクレ級数がすべての点で一様収束するときは \scriptstyle-\infty、常に一様収束しない場合は \scriptstyle+\infty と定める。


一様収束軸の値は、収束軸・絶対収束軸とは異なる方法で求められる。

ディリクレ級数


\sum_{n=1}^{\infty}a_ne^{-\lambda_ns}

の一様収束軸 \scriptstyle\sigma_u の値は、以下の様に求められる。


\sigma_u = \limsup_{x\to\infty}\frac{\log T_x}{\log x}

ここで、


T_x = \!\!\!\!\sup_{-\infty<y<\infty}\left|\sum_{[x]\le\lambda_n<x}\!\!\!a_ne^{-i\lambda_ny}\right|


解析的性質[編集]

正則性[編集]

一般ディリクレ級数


f(s) = \sum_{n=1}^{\infty}a_ne^{-\lambda_ns}

は、\scriptstyle\operatorname{Re}\ s > \sigma で収束するならば、\scriptstyle\operatorname{Re}\ s > \sigma正則である。さらに、f(s)微分


f^{(k)}(s) = (-1)^k\sum_{n=1}^{\infty}\lambda_n^k a_ne^{-\lambda_ns}

で与えられる。


\scriptstyle\operatorname{Re}\ s > \sigma で正則である様な σ の下限を \scriptstyle\sigma_r とおくと。


\sigma_r = \sup_{-\infty < y < +\infty}\limsup_{x\to-\infty}(\log\log^{+}|\varphi(x+iy)|+x)

但し、


\varphi(z) = \sum_{n=1}^{\infty}(a_ne^{-\lambda_nz}/\Gamma(1+\lambda_n)),\ \ \ \log^{+}z = \max(\log z,\ 0)


一般ディリクレ級数の一意性[編集]

2つのディリクレ級数


f(s) = \sum_{n=1}^{\infty}a_n e^{-\lambda_ns},\ \ \ \ \ g(s) = \sum_{n=1}^{\infty}b_n e^{-\lambda_ns}

が、ある開領域内で収束し、そこで、f(s) = g(s) が成立するならば、すべての n に対して、a_n = b_n である。


一般ディリクレ級数の係数[編集]

収束軸 \scriptstyle\sigma_c が有限の値もしくは \scriptstyle-\inftyである、一般ディリクレ級数


f(s) = \sum_{n\le x}a_n e^{-\lambda_ns}

に対して、ω を \scriptstyle\lambda_n < \omega < \lambda_{n+1} を満たす様にとり、\scriptstyle c>\max(\sigma_c,\ 0) とする。このとき


\sum_{k=1}^na_k = \frac{1}{2\pi i}\int_{c-i\infty}^{c+\infty}a_n\frac{e^{\omega z}}{z}dz

が成立する。但し、積分路は、すべての \lambda_k を通らない様にとる。


さらに、\scriptstyle x > \sigma_c であるならば、


a_n = \lim_{T\to\infty}\frac{1}{T}\int_{x}^{x+T}\!\!f(x+ iy)e^{\lambda_n(x+iy)}dy


一般ディリクレ級数の零点の個数[編集]

ε、 δ、T を任意の正数とする。

収束軸 \scriptstyle\sigma_c が有限の値である一般ディリクレ級数


f(s) = \sum_{n\le x}a_n e^{-\lambda_ns}

に対して、\scriptstyle\sigma\ge \sigma_c+\varepsilon,\ T< t < T + 2\delta\log T を満たす複素数 s=\sigma+it のうち、f(s) = 0 を満たすものの個数を N(T) とおくと、 N(T) は有限の値であり、


\limsup_{T\to\infty}\frac{N(T)}{\log^2T}\le\frac{\delta}{\varepsilon}

が成立する。


注釈[編集]

  1. ^ α が有限の値でない場合でも、この不等式は成立する。しかし、絶対収束する点が存在するかは、この不等式からでは分からない。
  2. ^ \scriptstyle\sigma_c,\ \sigma_a が有限の値でなくても、この不等式は成り立つ。


参考文献[編集]

  • ザギヤー, D. B. 『数論入門』 片山孝次訳、岩波書店、東京、1990年
  • ナルキェヴィッチ, W. 『素数定理の進展 上』 中嶋眞澄訳、シュプリンガー・フェアラーク東京、東京、2008年
  • 日本数学会編 『岩波 数学辞典 第3版』 岩波書店、東京、1987年
  • 日本数学会編 『岩波 数学辞典 第4版』 岩波書店、東京、2007年


関連項目[編集]