一般ディリクレ級数

一般ディリクレ級数（いっぱんでぃりくれきゅうすう、英: general Dirichlet series）とは、

複素数列 $\scriptstyle\{a_n\}_{n\ge 0}$、無限大に発散する狭義の単調増加列 $\scriptstyle\{\lambda_n\}_{n\ge 0}$ および複素数 s に対して、

$\sum_{n=1}^{\infty}a_n e^{-\lambda_ns}$

で表される級数のことをいう。指数型のディリクレ級数または広義のディリクレ級数ともいう。

特に、$\lambda_n = \log n$ のとき、

$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{a_n}{n^s}$

であり、(通常)ディリクレ級数となる。

また、$\lambda_n = n$、$z = e^{-s}$ とすると、

$\sum_{n=1}^{\infty}a_n z^n$

と、ベキ級数になる。

s を変数とみなし、一般ディリクレ級数の収束性を問わないとき、形式的一般ディリクレ級数 (formal general Dirichlet series)という。

収束性

収束軸

任意の一般ディリクレ級数に対して、次のいずれかが成り立つ。

1. 任意の複素数 s に対して、一般ディリクレ級数は収束する。
2. 任意の複素数 s に対して、一般ディリクレ級数は発散する。
3. 一般ディリクレ級数が $\scriptstyle\operatorname{Re}\ s > \sigma_c$ を満たす複素数 s に対して収束し、$\scriptstyle\operatorname{Re}\ s < \sigma_c$ を満たす複素数 s に対して発散する様な実数 $\scriptstyle\sigma_c$ が存在する。

この $\scriptstyle\sigma_c$ を一般ディリクレ級数の収束軸 (line of convergence)または収束座標 (abscissa of convergence)という。 収束軸について、一般ディリクレ級数が常に収束するときは $\scriptstyle-\infty$、常に発散する場合は $\scriptstyle+\infty$ と定める。

収束軸の値の求め方

一般ディリクレ級数

$\sum_{n=1}^{\infty}a_n e^{-\lambda_ns}$

の収束軸 $\scriptstyle\sigma_c$ の値は、以下の様に求められる。

• $\textstyle s_n = \sum_{k=1}^na_k$ が発散する場合

  $\sigma_c = \limsup_{n\to\infty}\frac{\log |s(n)|}{\lambda_n}$ 。

• $\textstyle s_n = \sum_{k=1}^na_k$ が収束する場合

  $\sigma_c = \limsup_{n\to\infty}\frac{\log|a_n + a_{n+1} + \cdots|}{\lambda_n}$ 。

また、

$\sigma_c = \limsup_{x\to\infty}\frac{1}{x}\log\left|\sum_{[x]\le\lambda_n<x}\!\!\!\!a_n\right|$

という式も知られている。

絶対収束性

一般の級数のときと同じく、

$\sum_{n=1}^{\infty}|a_n| e^{-\lambda_ns}$

が収束するとき、一般ディリクレ級数

$\sum_{n=1}^{\infty}a_n e^{-\lambda_ns}$

は絶対収束するという。

絶対収束する複素数 s に対する、$\operatorname{Re}\ s$ の下限を絶対収束軸 (line of absolute convergence)または絶対収束座標 (abscissa of absolute convergence)という。 絶対収束軸について、一般ディリクレ級数がすべての点で絶対収束するときは $\scriptstyle-\infty$、常に絶対収束しない場合は $\scriptstyle+\infty$ と定める。

ディリクレ級数の場合、ある点で収束すれば絶対収束する点が存在するが(ディリクレ級数の絶対収束性を参照)、ある点で収束しても、すべての点で絶対収束しない一般ディリクレ級数が存在する。

例えば

$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}e^{-s\log\log n}$

は、すべての複素数 s に対して収束するが、絶対収束することはない。

一般に、収束軸が有限の値 $\scriptstyle\sigma_c$ を持ち、

$\limsup_{n\to\infty}\frac{\log n}{\lambda_n}$

が有限の値 α をとるならば、絶対収束軸 $\scriptstyle\sigma_a$ は有限の値を持ち、$\scriptstyle 0\le\sigma_a - \sigma_a \le \alpha$ であることが知られている。

絶対収束軸は、先に述べた収束軸の値を求める公式を用いて、以下の様に与えられる。

一般ディリクレ級数

$\sum_{n=1}^{\infty}a_ne^{-\lambda_ns}$

の絶対収束軸 $\scriptstyle\sigma_a$ の値は、以下の様に求められる。

• $\textstyle s_n = \sum_{k=1}^n|a_k|$ が発散する場合

  $\sigma_a = \limsup_{n\to\infty}\frac{\log s(n)}{\log n}$ 。

• $\textstyle s_n = \sum_{k=1}^n|a_k|$ が収束する場合

  $\sigma_a = \limsup_{n\to\infty}\frac{\log(|a_n| + |a_{n+1}| + \cdots)}{\log n}$ 。

また、

$\sigma_a = \limsup_{x\to\infty}\frac{1}{x}\log\left(\sum_{[x]\le\lambda_n<x}\!\!\!\!|a_n|\right)$

が成り立つ。

一様収束性

一般ディリクレ級数を

$f(s) = \sum_{n=1}^{\infty}a_ne^{-\lambda_ns}$

として、s を変数とする関数とみなすと、$f(s)$ の一様収束性が問題となる。

一般ディリクレ級数の一様収束性について、収束軸 $\scriptstyle\sigma_c$ および絶対収束軸 $\scriptstyle\sigma_a$ が有限の値であるならば、 このとき、

$\sigma_c\le\sigma_u\le\sigma_a$

を満たす実数 $\scriptstyle\sigma_u$ が存在して、$\scriptstyle\operatorname{Re}\ s>\sigma_u$ を満たす複素数 s に対して、$f(s)$ は一様収束するが、$\scriptstyle\operatorname{Re}\ s < \sigma_u$ を満たす複素数 s に対して、$f(s)$ は一様収束しない。　

この $\scriptstyle\sigma_u$ を、一様収束軸 (line of uniform convergence)または一様収束座標 (abscissa of uniform convergence)という。 一様収束軸について、一般ディリクレ級数がすべての点で一様収束するときは $\scriptstyle-\infty$、常に一様収束しない場合は $\scriptstyle+\infty$ と定める。

一様収束軸の値は、収束軸・絶対収束軸とは異なる方法で求められる。

ディリクレ級数

$\sum_{n=1}^{\infty}a_ne^{-\lambda_ns}$

の一様収束軸 $\scriptstyle\sigma_u$ の値は、以下の様に求められる。

$\sigma_u = \limsup_{x\to\infty}\frac{\log T_x}{\log x}$ 。

ここで、

$T_x = \!\!\!\!\sup_{-\infty<y<\infty}\left|\sum_{[x]\le\lambda_n<x}\!\!\!a_ne^{-i\lambda_ny}\right|$ 。

解析的性質

正則性

一般ディリクレ級数

$f(s) = \sum_{n=1}^{\infty}a_ne^{-\lambda_ns}$

は、$\scriptstyle\operatorname{Re}\ s > \sigma$ で収束するならば、$\scriptstyle\operatorname{Re}\ s > \sigma$ で正則である。さらに、$f(s)$ の微分は

$f^{(k)}(s) = (-1)^k\sum_{n=1}^{\infty}\lambda_n^k a_ne^{-\lambda_ns}$

で与えられる。

$\scriptstyle\operatorname{Re}\ s > \sigma$ で正則である様な σ の下限を $\scriptstyle\sigma_r$ とおくと。

$\sigma_r = \sup_{-\infty < y < +\infty}\limsup_{x\to-\infty}(\log\log^{+}|\varphi(x+iy)|+x)$ 。

但し、

$\varphi(z) = \sum_{n=1}^{\infty}(a_ne^{-\lambda_nz}/\Gamma(1+\lambda_n)),\ \ \ \log^{+}z = \max(\log z,\ 0)$ 。

一般ディリクレ級数の一意性

2つのディリクレ級数

$f(s) = \sum_{n=1}^{\infty}a_n e^{-\lambda_ns},\ \ \ \ \ g(s) = \sum_{n=1}^{\infty}b_n e^{-\lambda_ns}$

が、ある開領域内で収束し、そこで、$f(s) = g(s)$ が成立するならば、すべての n に対して、$a_n = b_n$ である。

一般ディリクレ級数の係数

収束軸 $\scriptstyle\sigma_c$ が有限の値もしくは $\scriptstyle-\infty$である、一般ディリクレ級数

$f(s) = \sum_{n\le x}a_n e^{-\lambda_ns}$

に対して、ω を $\scriptstyle\lambda_n < \omega < \lambda_{n+1}$ を満たす様にとり、$\scriptstyle c>\max(\sigma_c,\ 0)$ とする。このとき

$\sum_{k=1}^na_k = \frac{1}{2\pi i}\int_{c-i\infty}^{c+\infty}a_n\frac{e^{\omega z}}{z}dz$

が成立する。但し、積分路は、すべての $\lambda_k$ を通らない様にとる。

さらに、$\scriptstyle x > \sigma_c$ であるならば、

$a_n = \lim_{T\to\infty}\frac{1}{T}\int_{x}^{x+T}\!\!f(x+ iy)e^{\lambda_n(x+iy)}dy$ 。

一般ディリクレ級数の零点の個数

ε、 δ、T を任意の正数とする。

収束軸 $\scriptstyle\sigma_c$ が有限の値である一般ディリクレ級数

$f(s) = \sum_{n\le x}a_n e^{-\lambda_ns}$

に対して、$\scriptstyle\sigma\ge \sigma_c+\varepsilon,\ T< t < T + 2\delta\log T$ を満たす複素数 $s=\sigma+it$ のうち、$f(s) = 0$ を満たすものの個数を $N(T)$ とおくと、 $N(T)$ は有限の値であり、

$\limsup_{T\to\infty}\frac{N(T)}{\log^2T}\le\frac{\delta}{\varepsilon}$

が成立する。

参考文献

• ザギヤーD. B. 『数論入門』 片山孝次訳、岩波書店、東京、1990年。
• ナルキェヴィッチW. 『素数定理の進展 上』 中嶋眞澄訳、シュプリンガー・フェアラーク東京、東京、2008年。
• 日本数学会編 『岩波 数学辞典 第3版』 岩波書店、東京、1987年。
• 日本数学会編 『岩波 数学辞典 第4版』 岩波書店、東京、2007年。

関連項目

• 級数
• 冪級数
• ディリクレ級数