一様可積分性

一様可積分性（いちようかせきぶんせい、英: uniform integrability）とは、数学の実解析、関数解析学および測度論の分野における重要な概念で、ルベーグ可積分性の概念を拡張し、条件付期待値やマルチンゲールの理論の発展のために重要な役割を担うものである。確率変数の収束において、この性質は、確率の意味において収束する確率変数が $\mathbb{L}^p$ の意味において収束するための必要十分条件を与える。

形式的定義

次の定義が適用される。

• 確率変数のクラス $\mathcal{C}$ が一様可積分であるとは、$\epsilon>0$ が与えられた時、$E(|X|I_{|X|\geq K})\le\epsilon$ がすべての $X \in \mathcal{C}$ に対して成立するような $K\in[0,\infty)$ が存在することを言う。ただし $I_{|X|\geq K}$ は指示関数 $I_{|X|\geq K} = \begin{cases} 1 &\text{if } |X|\geq K, \\ 0 &\text{if } |X| < K \end{cases}$ である。

• 二箇条を必要とするような、別の定義は次のようなものである: 確率変数のクラス $\mathcal{C}$ が一様可積分であるとは、
  • $\mathcal{C}$ に含まれるすべての $X$ に対して、$\mathrm E(|X|)\leqslant K$ となるような有限の $K$ が存在する。
  • すべての $\epsilon > 0$ に対してある $\delta > 0$ が存在し、$\mathrm P(A)\leqslant \delta$ となるようなすべての可測な $A$ および、すべての $X \in \mathcal{C}$ に対して、$\mathrm E(|X|:A)\leqslant\epsilon$ が成立する。

の二つが成立することを言う。

関連する系

次のような結果がある。

• 上の一つ目の定義は、次のような極限を用いることで書き換えられる:

$\lim_{K \to \infty} \sup_{X \in \mathcal{C}} E(|X|||X|\ge K)=0.$

• 確率変数 $X_n,\ n=1,2,\ldots$ の列を考える。$X_n(\omega)=n,\ \forall \omega\in \left(0,\frac{1}{n}\right),\ X_n(\omega)=0 \text{ otherwise}$ と定義する。すべての n に対して $E(|X_n|)=1$ であるため、明らかに $X_n\in \mathbb{L}^1$ である。しかし、上の一つ目の定義に従えば

$E(|X_n|,|X_n|\ge K)= 1\ \forall n\ge K$

であることから、この数列は一様可積分ではない。すなわち、ルベーグ可積分ではあるが、一様可積分ではない。

一様可積分でない確率変数列の例。図の黒帯（strip）の部分は、$X_n \to 0$ としても $\infty$ へと向かう。

• 上の二つ目の定義によれば、$X_n$ が有界でないときにはその第一箇条目は成立しないことが分かる。もし $X$ が一様可積分な確率変数であれば、

$E(|X|)=E(|X|,|X|>K)+E(|X|,|X|<K)$

と区分し、それぞれを上から抑えることにより、その確率変数は $\mathbb{L}^1$ に含まれることが分かる。また、任意の $\mathbb{L}^1$ 確率変数は、上の二つ目の定義の第二箇条目を満たすことが分かる。

• 確率変数 $X_n$ のどのような列も、ある可積分な非負の $Y$ によって支配されているなら、すなわち、任意の ω と n に対して、

$\ |X_n(\omega)| \le |Y(\omega)|,\ Y(\omega)\ge 0,\ E(Y)< \infty$

が成立しているなら、確率変数 $\{X_n\}$ のクラス $\mathcal{C}$ は一様可積分である。

• $\mathcal{L}^p$ ($p>1$) において有界な確率変数のクラスは、一様可積分である。

関連する定理

• ダンフォード-ぺティスの定理

確率変数 $X_n \subset L^1(\mu)$ のクラスが一様可積分であるための必要十分条件は、それが弱位相において相対コンパクトであることである。

• ド・ラ・バレ・プーサンの定理

族 $\{X_{\alpha}\}_{\alpha\in\Alpha}$ が一様可積分であるための必要十分条件は、ある非負の増加凸関数 $G(t)$ で

$\lim_{t \to \infty} \frac{G(t)}{t} = \infty$ および $\sup_{\alpha} E(G(|X_{\alpha}|)) < \infty$

を満たすようなものが存在することである。

確率変数の収束との関係

詳細は「確率変数の収束」を参照

• 数列 $\{X_n\}$ が $L_1$ ノルムにおいて $X$ へと収束するための必要十分条件は、それが $X$ へと測度収束し、かつ一様可積分であることである。
• 確率の意味において収束する確率変数列が、期待値の意味においても収束するための必要十分条件は、それが一様可積分であることである。

参考文献

• A.N. Shiryaev (1995). Probability (2 ed.). New York: Springer-Verlag. pp. 187–188. ISBN 978-0-387-94549-1. 
• Walter Rudin (1987). Real and Complex Analysis (3 ed.). Singapore: McGraw–Hill Book Co.. p. 133. ISBN 0-07-054234-1. 
• J. Diestel and J. Uhl (1977). Vector measures, Mathematical Surveys 15, American Mathematical Society, Providence, RI ISBN 978-0-8218-1515-1