一様可積分性

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一様可積分性(いちようかせきぶんせい、: uniform integrability)とは、数学実解析関数解析学および測度論の分野における重要な概念で、ルベーグ可積分性の概念を拡張し、条件付期待値マルチンゲールの理論の発展のために重要な役割を担うものである。確率変数の収束において、この性質は、確率の意味において収束する確率変数が \mathbb{L}^p の意味において収束するための必要十分条件を与える。

形式的定義[編集]

次の定義が適用される[1]

  • 確率変数のクラス \mathcal{C}一様可積分であるとは、\epsilon>0 が与えられた時、E(|X|I_{|X|\geq K})\le\epsilon がすべての X \in \mathcal{C} に対して成立するような K\in[0,\infty) が存在することを言う。ただし  I_{|X|\geq K} 指示関数  I_{|X|\geq K} = \begin{cases} 1 &\text{if } |X|\geq K, \\ 0 &\text{if } |X| < K \end{cases} である。
  • 二箇条を必要とするような、別の定義は次のようなものである: 確率変数のクラス \mathcal{C}一様可積分であるとは、
    • \mathcal{C} に含まれるすべての X に対して、\mathrm E(|X|)\leqslant K となるような有限の K が存在する。
    • すべての \epsilon > 0 に対してある \delta > 0 が存在し、\mathrm P(A)\leqslant \delta となるようなすべての可測な A および、すべての X \in \mathcal{C} に対して、\mathrm E(|X|:A)\leqslant\epsilon が成立する。
の二つが成立することを言う。

関連する系[編集]

次のような結果がある。

  • 上の一つ目の定義は、次のような極限を用いることで書き換えられる:
\lim_{K \to \infty} \sup_{X \in \mathcal{C}} E(|X|||X|\ge K)=0.
  • 確率変数 X_n,\ n=1,2,\ldots の列を考える。X_n(\omega)=n,\ \forall \omega\in \left(0,\frac{1}{n}\right),\ X_n(\omega)=0 \text{ otherwise} と定義する。すべての n に対して E(|X_n|)=1 であるため、明らかに X_n\in \mathbb{L}^1 である。しかし、上の一つ目の定義に従えば
E(|X_n|,|X_n|\ge K)= 1\ \forall n\ge K
であることから、この数列は一様可積分ではない。すなわち、ルベーグ可積分ではあるが、一様可積分ではない。
一様可積分でない確率変数列の例。図の黒帯(strip)の部分は、X_n \to 0 としても \infty へと向かう。
  • 上の二つ目の定義によれば、X_n が有界でないときにはその第一箇条目は成立しないことが分かる。もし X が一様可積分な確率変数であれば、
E(|X|)=E(|X|,|X|>K)+E(|X|,|X|<K)
と区分し、それぞれを上から抑えることにより、その確率変数は \mathbb{L}^1 に含まれることが分かる。また、任意の \mathbb{L}^1 確率変数は、上の二つ目の定義の第二箇条目を満たすことが分かる。
  • 確率変数 X_n のどのような列も、ある可積分な非負の Y によって支配されているなら、すなわち、任意の ω と n に対して、
\ |X_n(\omega)| \le |Y(\omega)|,\ Y(\omega)\ge 0,\ E(Y)< \infty
が成立しているなら、確率変数 \{X_n\} のクラス \mathcal{C} は一様可積分である。
  • \mathcal{L}^p (p>1) において有界な確率変数のクラスは、一様可積分である。

関連する定理[編集]

確率変数 X_n \subset L^1(\mu) のクラスが一様可積分であるための必要十分条件は、それが弱位相英語版において相対コンパクト英語版であることである。
\{X_{\alpha}\}_{\alpha\in\Alpha} が一様可積分であるための必要十分条件は、ある非負の増加凸関数 G(t)
\lim_{t \to \infty} \frac{G(t)}{t} = \infty および \sup_{\alpha} E(G(|X_{\alpha}|)) < \infty
を満たすようなものが存在することである。

確率変数の収束との関係[編集]

  • 数列 \{X_n\}L_1 ノルムにおいて X へと収束するための必要十分条件は、それが X へと測度収束し、かつ一様可積分であることである。
  • 確率の意味において収束する確率変数列が、期待値の意味においても収束するための必要十分条件は、それが一様可積分であることである。

脚注[編集]

  1. ^ Williams, David (1997). Probability with Martingales (Repr. ed.). Cambridge: Cambridge Univ. Press.. pp. 126-132. ISBN 978-0-521-40605-5. http://www.amazon.com/Probability-Martingales-Cambridge-Mathematical-Textbooks/dp/0521406056. 
  2. ^ Dellacherie, C. and Meyer, P.A. (1978). Probabilities and Potential, North-Holland Pub. Co, N. Y. (Theorem T25).
  3. ^ Meyer, P.A. (1966). Probability and Potentials, Blaisdell Publishing Co, N. Y. (p.19, Theorem T22).

参考文献[編集]