ロンスキー行列式

数学の特に線型代数学におけるロンスキ行列式（ロンスキぎょうれつしき、英: Wronskian; ロンスキアン）は Józef Hoene-Wronski (1812) が導入した行列式で、Thomas Muir (1882, Chapter XVIII) が名づけた。微分方程式の研究において用いられ、解の集合が線型独立であることを示すのに利用される。

定義

二つの函数 f, g のロンスキ行列式は W(f,g) = fg′–gf ′ で与えられる。より一般に、n 個の実または複素数値函数 f₁, …, f_n が区間 I 上で n − 1 階まで微分可能とするとき、それらのロンスキ行列式 W(f₁, …, f_n) とは

$W(f_1, \ldots, f_n) (x)= \begin{vmatrix} f_1(x) & f_2(x) & \cdots & f_n(x) \\ f_1'(x) & f_2'(x) & \cdots & f_n' (x)\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ f_1^{(n-1)}(x)& f_2^{(n-1)}(x) & \cdots & f_n^{(n-1)}(x) \end{vmatrix},\qquad x\in I$

で定義される I 上の函数を言う。つまり、第 1-行は各函数、第 2-行はそれらの一階導函数、以下同様に第 (n − 1)-階導函数までを並べてできる行列（従ってこれは正方行列を成す。基本行列 (fundamental matrix) と呼ばれることもある）の行列式である。

考える函数族 f_i が線形微分方程式の解であるとき、そのロンスキ行列式はアーベルの恒等式を用いて明示的に求められる（これは函数族 f_i が陽にわかっていないときでも言える）。

ロンスキ行列式と線型独立性

函数族 f_i が線型従属ならば、ロンスキ行列式の列もそうなるから、微分演算の線型性によってロンスキ行列式は消える。故にロンスキ行列式は、ロンスキ行列式が恒等的に消えないことを見ることによって、可微分函数の集合がある区間上で線型独立であることを示すのに利用できる。

よくある間違いに、至る所 W = 0 なることから線型従属性が従うと考えることが挙げられるが、 Peano (1889) は函数 x² および |x|x が連続な導函数を持ちロンスキ行列式が至る所消えるにもかかわらず、これらが 0 の任意の近傍において線型従属でないことを指摘している。ロンスキ行列式が区間上で消えることが線型従属性を保証するための追加の条件と言うものがいくつか存在する。例えばPeano (1889) では、函数が解析的ならばよいことが述べられる。また Bochner (1901) には他にもいくつかの条件が提示されていて、例えば n 個の函数のロンスキ行列式が恒等的に消えていて、かつそれら函数のうちの n − 1 個を選んでできる n 個のロンスキ行列式が何れも至る所消えていないならば、それら函数は線型従属である。Wolsson (1989a) はより一般の条件のもとで、ロンスキ行列式が消えることから線型独立性が得られることを示している。

一般化されたロンスキ行列式

n 個の多変数函数に対して、一般化ロンスキ行列 (generalized Wronskian) とは、各 (i, j)-成分が D_i(f_j) (0 ≤ i < n) で与えられる n × n 行列の行列式を言う。ただし、各 D_i は i-階の適当な定数係数線型偏微分作用素とする。与えられた函数族が線型従属ならば一般化ロンスキ行列式は全て消えるが、一変数の場合と同様に逆は一般には正しくない（つまり、全ての一般化ロンスキ行列が消えるからと言ってそれらの線型従属性は言えない）。ただし、多くの特別の場合には逆が成り立つ。例えば、考える函数族の各函数が多項式で、その全ての一般化ロンスキ行列式が消えるならば、その函数族は線型従属である。ロスは一般化ロンスキ行列式に関するこの結果をロスの定理の証明に用いた。逆を成り立たせるより一般の条件については Wolsson (1989b) を見よ。

関連項目

• ムーア行列: 微分を有限体上のフロベニウス準同型にとりかえて得られるロンスキ行列の類似物

参考文献

• Bocher, Maxime (1901), “Certain Cases in Which the Vanishing of the Wronskian is a Sufficient Condition for Linear Dependence”, Transactions of the American Mathematical Society (Providence, R.I.: American Mathematical Society) 2 (2): 139–149, ISSN 0002-9947, JSTOR 1986214, http://jstor.org/stable/1986214 
• Hartman, Philip (1964), Ordinary differential equations, New York: John Wiley & Sons, ISBN 978-0-89871-510-1, MR0171038, http://books.google.com/books?id=CENAPMUEpfoC 
• Hoene-Wronski, J. (1812), Réfutation de la théorie des fonctions analytiques de Lagrange, Paris 
• Muir, Thomas (1882), A treatise on the theorie of determinants., Macmillan, http://www.archive.org/details/atreatiseontheo00muirgoog 
• Peano, Giuseppe (1889), “Sur le déterminant wronskien.” (French), Mathesis IX: 75–76, 110–112, JFM 21.0153.01 
• Rozov, N. Kh. (2001), “Wronskian”, in Hazewinkel, Michiel, Encyclopaedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1556080104, http://eom.springer.de/Wronskian.htm 
• Wolsson, Kenneth (1989a), “A condition equivalent to linear dependence for functions with vanishing Wronskian”, Linear Algebra and its Applications 116: 1–8, doi:10.1016/0024-3795(89)90393-5, ISSN 0024-3795, MR989712 
• Wolsson, Kenneth (1989b), “Linear dependence of a function set of m variables with vanishing generalized Wronskians”, Linear Algebra and its Applications 117: 73–80, doi:10.1016/0024-3795(89)90548-X, ISSN 0024-3795, MR993032