レンズ空間

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数学にいうレンズ空間(レンズくうかん、: lens space)は位相空間の一種である。しばしば三次元多様体の特定のクラスを指す言葉として用いられるが、一般にもっと高次元のレンズ空間も定義することができる。

三次元多様体の場合、レンズ空間というのは二つのソリッドトーラス(中身の詰まったトーラス)をその境界で貼り合せる事で得られる空間として特徴付けることができる。ただし、三次元球面 S3S2 × S1 は、そうやって得られる空間ではあるものの、自明な場合であるとして、レンズ空間とは扱わないことも多い。

三次元レンズ空間 L(p, q) は1908年に Tietze が導入した。三次元レンズ空間はそのホモロジーおよび基本群だけからは決定することができない三次元多様体の最もよく知られた例であり、そして同相型 (homeomorphism type) がそのホモトピー型から決まらない閉多様体の最も簡単な例である。J.W. Alexander は1919年にレンズ空間 L(5; 1) と L(5; 2) が、基本群とホモロジー群が同型であるにもかかわらず互いに同相ではないことを示した。他にも同じホモトピー型を持つ(従って基本群もホモロジー群も等しい)が同相型が異なるレンズ空間というものが存在する。これにより、レンズ空間の導入を以って(代数的位相幾何学から分かれて)幾何学的位相幾何学 (geometric topology) の起こりと考えられる。

三次元レンズ空間はライデマイスタートーションによる完全な分類が済んでいる。

レンズ空間の古典的位相不変量[編集]

(p, q) 型レンズ空間の基本群\mathbb{Z}/p\mathbb{Z} と同型になる。また、ホモロジー群に関してはポアンカレ双対定理普遍係数定理を用いることで次のように計算される:


H_{k}(L(p, q); \mathbb{Z})=\begin{cases}
\mathbb{Z} & (k=0, 3) \\
\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}          & (k=1)\\
0                   & (\text{otherwise}),
\end{cases}

ここで L(p, q)(p, q) 型レンズ空間を表す。後ほど分かるように、レンズ空間の同相分類やホモトピー分類にはq も関係するので、基本群やホモロジーではレンズ空間の分類はできない。

レンズ空間の分類[編集]

レンズ空間の同相分類は次のものが知られている:(p, q) 型レンズ空間と (p, q') 型レンズ空間が同相である必要十分条件は、q'=\pm q^{\pm } (\text{mod} \ p) となることである。一方で、ホモトピー分類に関しては次のものが知られている:(p, q) 型レンズ空間と (p, q') 型レンズ空間がホモトピー同値である必要十分条件は、ある整数 n が存在して q'=\pm n^{2}q^{\pm } (\text{mod} \ p) となることである。このことから、ホモトピー同値だが同相ではないレンズ空間の組が存在することが分かる。

関連項目[編集]