レムニスケート

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』
移動: 案内検索
レムニスケート

レムニスケート: lemniscate)は極座標の方程式

r^2 = 2a^2 \cos 2\theta

で表される曲線である。連珠形(れんじゅけい)とも呼ばれる。またヤコブ・ベルヌーイのレムニスケートとも呼ばれる。カッシーニの卵形線の一種と見なすことができる。

直交座標の方程式では

(x^2 + y^2)^2 - 2a^2(x^2 - y^2) = 0

となる。

x軸、y軸に対して線対称である。原点Oで自らと交わる。原点Oにおける接線はy=x,y=-xとなる。原点Oと\sqrt{2}a,-\sqrt{2}aでx軸と交わる(以下、この二点を「交点」と呼ぶ)。点 (±a, 0) は、レムニスケートの焦点(英:focus, -ci)と呼ばれる。レムニスケート上では、「任意の点と一方の焦点との距離」と「その任意の点ともう一方の焦点との距離」の積は一定である。直角双曲線の接線に、原点から垂線を下ろした点の軌跡はレムニスケートになる。また、中心が直角双曲線上にあり、なおかつ原点を通る円の包絡線はレムニスケートになる。

ループ1つで囲まれる面積はa^2であり、2つ合わせて2a^2となる。曲線の弧長楕円積分によって表される。

レムニスケートはベルヌーイ兄弟によって最初に発見され、イタリアの数学者ファニャーノによって楕円積分論の事例として詳しく研究された。オイラーはファニャーノの『数学論文集』に刺激を受け、微分方程式論の研究を発展させ、独自の楕円積分論を構築した。

関連項目[編集]