ルース=アーロン・ペア

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ルース=アーロン・ペア (Ruth=Aaron pair) とは、2 つの連続した自然数のそれぞれの素因子総和が、互いに等しくなる組のことである。非常に少なく、20000 以下では 26 組しか存在しない。

名前の由来[編集]

アメリカの元プロ野球選手であるベーブ・ルース1935年に達成した通算本塁打記録 714 本(当時歴代 1 位)を、同国の元プロ野球選手のハンク・アーロン1974年に通算 715 本目の本塁打を放ち、その記録を破った。この時の記録 (714, 715) が上記の性質になる事からこの名がついた。

計算[編集]

(714, 715) で調べてみよう。

  • 714 = 2 × 3 × 7 × 17
  • 715 = 5 × 11 × 13
    • 2 + 3 + 7 + 17 = 5 + 11 + 13 = 29

となり、(714, 715) の組はルース=アーロン・ペアということになる。また、条件とはなっていないが、

  • 714 × 715 = 17# = 2 × 3 × 5 × 7 × 11 × 13 × 17 = 510510 となる (p# は 2 から p までの素数総乗で、ユークリッド数、素数階乗と呼ばれる)。

このような性質も合わせ持つルース=アーロン・ペアはさらに少なく、20000 以下ではわずか 2 組である ((5, 6) と (714, 715) の 2 組)。

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(5, 6), (8, 9), (15, 16), (77, 78), (125, 126), (714, 715), (948, 949), (1330, 1331), (1520, 1521), (1862, 1863), (2491, 2492), (3248, 3249), (4185, 4186), (4191, 4192), (5405, 5406), (5560, 5561), (5959, 5960), (6867, 6868), (8280, 8281), (8463, 8464), (10647, 10648), (12351, 12352), (14587, 14588), (16932, 16933), (17080, 17081), (18490, 18491), ...

ただし、素因数分解したとき 8 = 23 など指数部が現れる数の場合「素因子の総和」は 2 + 2 + 2 というように計算する。

ルース=アーロン・トリプレット[編集]

ルース=アーロン・ペアと同様にルース=アーロン・トリプレットも定義される。そのうち最小のものは (417162, 417163, 417164) であり、

  • 417162 = 2 × 3 × 251 × 277
  • 417163 = 17 × 53 × 463
  • 417164 = 2 × 2 × 11 × 19 × 499
    • 2 + 3 + 251 + 277 = 17 + 53 + 463 = 2 + 2 + 11 + 19 + 499 = 533 で素因子の和は全て等しい。

未解決問題[編集]

ルース=アーロン・ペア及びルース=アーロン・トリプレットが無限に存在するかどうかは分かっていない。発見者の知人は、無限に存在すると予想している。x 以下のルース=アーロン・ペアの個数は O(x (log log x)4/(log x)2) であることが知られている。特に、ルース=アーロン・ペアが無限に多く存在するとしても、その逆数の和は収束することがカール・ポメランスにより証明されている。

Carl Pomerance, Ruth-Aaron numbers revisited, Paul Erdös and his Mathematics, (Budapest, 1999), Bolyai Soc. Math. Stud. 11, János Bolyai Math. Soc., Budapest, 2002, pp. 567--579.