リーマンの定理 (除去可能な特異点)

リーマンの定理（Riemann's theorem）は、ドイツの数学者ベルンハルト・リーマンによる、複素解析における除去可能な特異点に関する定理である。

定理

U を 複素平面 Cにおけるある開集合、 a を U 内のある点、 f (z) を U - {a } で定義された正則関数とすると、以下の4つの命題は全て同値である。

i) f (z) は a 上に正則に拡張可能である。すなわち、 U - {a } で f (z) = g (z) を満たす U 上で定義された正則関数 g (z) が存在する。

ii) f (z) は a 上に連続に拡張可能である。すなわち、 U - {a } で f (z) = g (z) を満たす U 上で定義された連続な複素関数 g (z) が存在する。

iii) a のある近傍 V で、その |f (z) | による値域(像)が有界となるものが存在する。すなわち、 |f (V ) | < t となる実数 t が存在する。

iv) $\lim_{z\to a}(z - a) f(z) = 0 \$

証明

i) はa が f (z) の除去可能な特異点であるという定義そのものである。 i) ⇒ ii) ⇒ iii) ⇒ iv) は自明であるから、 iv) ⇒ i) のみを証明する。 まず複素関数 h を次のように定義する。

$h(z) = \begin{cases} (z - a)^2 f(z) & z \ne a ,\\ 0 & z = a .\\ \end{cases}$

h (z) は当然 U - {a } で正則である。 仮定(命題 iv) から

$h'(a) = \lim_{z\to a}\frac{h(z)-h(a)}{z-a} = \lim_{z\to a}(z - a)f(z) = 0$

となるから、 h (z) は a で微分可能であり(微分係数は 0)、h (z) は U で正則となる。 従って、コーシーの積分公式から h (z) は a でテイラー展開可能であるが、h (a) = 0 および h ' (a) = 0 から、この展開の定数項と (z -a ) の1次の項の係数はともに 0 である。結局、このテイラー展開は

$h(z) = a_0(z - a)^2 + a_1 (z - a)^3 + \cdots$

と書くことができる。

$g(z) = \frac{h(z)}{(z-a)^2} = a_0 + a_1 (z - a) + \cdots$

と定義すれば g (z) は命題 i) を満たす U 上で定義された正則関数である。以上で定理が証明された。

関連項目

• 複素解析
• 正則関数
• 特異点
• 除去可能な不連続点