ランダムウォーク

2次元ランダムウォークの軌跡。

ランダムウォーク（英語: random walk）は、次に現れる位置が確率的に無作為（ランダム）に決定される運動である。乱歩（らんぽ）、酔歩（すいほ）とも。グラフなどで視覚的に測定することで観測可能な現象で、このとき運動の様子は一見して不規則なものになる。

ブラウン運動と共に、統計力学、量子力学、数理ファイナンス等の具体的モデル化に盛んに応用される。

[編集] 数学的定義

X_n (n = 1, 2, ...) を独立かつ同分布な R^d 値確率変数族とする。この時、

$S_n = X_1 + \cdots + X_n$

を（d 次元）ランダムウォーク (d dimensional random walk, RW) という。

特に、X_n が Z^d 値であり、かつ、

$P( X_n = \mathbf{e}_j ) = P( X_n = -\mathbf{e}_j ) =\frac{1}{2d}$

（ $\mathbf{e}_j$ は、第 j 成分が 1 の単位ベクトル）である時、S_n を（d 次元）単純ランダムウォーク (d dimensional simple random walk) という。

コイントスにおいて、コインを投げて「裏と表が出る確率」は、共に二分の一である。

数直線上の点について、コインを投げて表が出た場合に点を右（正の方向）に進め、裏が出た場合に点を左（負の方向）に進める試行（1次元のランダムウォーク）を無限回繰り返した場合に、点がある位置に存在する確率は正規分布で示される。

しかし、点が正の領域にいる時間の割合 $x$ の分布は、 $1/\pi \sqrt{x(1-x)}$ の確率密度を持つ（負の領域にいる時間の割合は $1 - x$ ）。これは $x = 0$ および $x = 1$ で無限大に発散するグラフである。

すなわち、正・負のそれぞれの領域に半々ずつ点がいる確率よりも、どちらかの領域に多くいる確率の方がはるかに高い結果となる。

再帰性
1 または 2 次元の単純ランダムウォークは再帰的であり、3 次元以上のランダムウォークは過渡的である。
Donsker の定理の系
X_n (n = 0, 1, ...) を平均 0 かつ分散 1 の独立かつ同分布な 1 次元ランダムウォークとし、
$S t = S n if t = n, linear if n < t < n + 1$
で定義すると、各 t ≧ 0 に対して次が成立する。
$P ( | \frac{S_{nt}}{\sqrt{n}} - B_t | < \varepsilon ) \rightarrow 0 \mbox{ for all } \varepsilon > 0$