ランダムウォーク

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2次元ランダムウォークの軌跡。

ランダムウォーク英語: random walk)は、次に現れる位置が確率的に無作為(ランダム)に決定される運動である。乱歩(らんぽ)、酔歩(すいほ)とも。グラフなどで視覚的に測定することで観測可能な現象で、このとき運動の様子は一見して不規則なものになる。

ブラウン運動と共に、統計力学量子力学数理ファイナンス[1][2]等の具体的モデル化に盛んに応用される。

数学的定義[編集]

Xn (n = 1, 2, ...) を独立かつ同分布Rd確率変数族とする。この時、

S_n = X_1 + \cdots + X_n

を(d 次元)ランダムウォーク (d dimensional random walk, RW) という。

特に、XnZd 値であり、かつ、

P( X_n = \mathbf{e}_j ) = P( X_n = -\mathbf{e}_j ) =\frac{1}{2d}

\mathbf{e}_j は、第 j 成分が 1 の単位ベクトル)である時、Sn を(d 次元)単純ランダムウォーク (d dimensional simple random walk) という。

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コイントスにおいて、コインを投げて「裏と表が出る確率」は、共に二分の一である。

数直線上の点について、コインを投げて表が出た場合に点を右(正の方向)に進め、裏が出た場合に点を左(負の方向)に進める試行(1次元のランダムウォーク)を無限回繰り返した場合に、点がある位置に存在する確率は正規分布で示される。

しかし、点が正の領域にいる時間の割合xの分布は、1/\pi \sqrt{x(1-x)}の確率密度を持つ(負の領域にいる時間の割合は1-x)。これはx=0およびx=1で無限大に発散するグラフである。

すなわち、正・負のそれぞれの領域に半々ずつ点がいる確率よりも、どちらかの領域に多くいる確率の方がはるかに高い結果となる[3][4]

基本的性質[編集]

  1. 再帰性
    1 または 2 次元の単純ランダムウォークは再帰的であり、3 次元以上のランダムウォークは非再帰的である。[5][6]
  2. Donsker の定理の系
    Xn (n = 0, 1, ...) を平均 0 かつ分散 1 の独立かつ同分布な 1 次元ランダムウォークとし、
    S_t = S_n \mbox{ if } t = n , \mbox{ linear } \mbox{ if } n < t < n + 1
    で定義すると、各 t ≧ 0 に対して次が成立する。
    P ( | \frac{S_{nt}}{\sqrt{n}} - B_t | < \varepsilon ) \rightarrow 0 \mbox{ for all } \varepsilon > 0

応用[編集]

レビのダスト
宇宙空間の星の分布のモデルとして考えられた点の分布。点の進む方向をランダム、進行距離の分布が冪級数で与えられるようなランダムウォーク。
自己回避ランダムウォーク[7]
軌跡が交差しないランダムウォーク。理論的な解析は困難。高分子の幾何学的構造[8]、海岸線などのモデル(自己相似)として利用されている。

脚注[編集]

  1. ^ ウィーナー過程フィナンシャル・アーティスト・アカデミー株式会社
  2. ^ 対数正規分布ニューメリカルテクノロジーズ株式会社
  3. ^ ランダムウォークに関する話題から ―逆正弦法則について―小杉のぶ子(東京海洋大学 海洋工学部)
  4. ^ ”つき”の数理-逆正弦法則について大阪大学基礎工学研究科会田研究室
  5. ^ ランダムウォーク
  6. ^ 電気回路とランダム・ウォーク2002年3月17日 確率統計委員会・深川久(豊中高校)
  7. ^ 確率モデルを用いたフラクタル図形の作成複雑系工学講座 混沌系工学研究室 井上純一
  8. ^ ランダムウォークと統計力学岡部豊

関連項目[編集]