ランダムウォーク

ランダムウォーク（英: random walk）は、次に現れる位置が確率的に無作為（ランダム）に決定される運動である。日本語の別名は酔歩（すいほ）、乱歩（らんぽ）である。グラフなどで視覚的に測定することで観測可能な現象で、このとき運動の様子は一見して不規則なものになる。

ブラウン運動と共に、統計力学、量子力学、数理ファイナンス^[1]^[2]等の具体的モデル化に盛んに応用される。

数学的定義[編集]

$X_{n}$ ( $n=1,2,\dots$ ) を独立かつ同分布な $\mathbf {R} ^{d}$ 値確率変数族とする。この時、

S_{n}=X_{1}+\cdots +X_{n}

を（ $d$ 次元）ランダムウォーク (d dimensional random walk, RW) という。

特に、 $X_{n}$ が $\mathbf {Z} ^{d}$ 値であり、かつ、

P(X_{n}=\mathbf {e} _{j})=P(X_{n}=-\mathbf {e} _{j})={\frac {1}{2d}}

（ $\mathbf {e} _{j}$ は、第 $j$ 成分が 1 の単位ベクトル）である時、S_n を（ $d$ 次元）単純ランダムウォーク (d dimensional simple random walk) という。

直接的一般化として、結晶格子（結晶構造の抽象化）上のランダムウォークが定式化され、中心極限定理と大偏差の性質が小谷と砂田により証明されている^[3]^[4]。

コイントスにおいて、コインを投げて「裏と表が出る確率」は、共に二分の一である。

数直線上の点について、コインを投げて表が出た場合に点を右（正の方向）に進め、裏が出た場合に点を左（負の方向）に進める試行（1次元のランダムウォーク）を無限回繰り返した場合に、点がある位置に存在する確率は正規分布で示される。

しかし、点が正の領域にいる時間の割合 $x$ の分布は、 ${\tfrac {1}{\pi {\sqrt {x(1-x)}}}}$ の確率密度を持つ（負の領域にいる時間の割合は $1-x$ ）。これは $x=0$ および $x=1$ で無限大に発散するグラフである。

すなわち、正・負のそれぞれの領域に半々ずつ点がいる確率よりも、どちらかの領域に多くいる確率の方がはるかに高い結果となる^[5]^[6]。

レビのダスト: 宇宙空間の星の分布のモデルとして考えられた点の分布。点の進む方向をランダム、進行距離の分布が冪級数で与えられるようなランダムウォーク。
自己回避ランダムウォーク（英語版）^[9]: 軌跡が交差しないランダムウォーク。理論的な解析は困難。高分子の幾何学的構造^[10]、海岸線などのモデル（自己相似）として利用されている。

^ ウィーナー過程フィナンシャル・アーティスト・アカデミー株式会社
^ Log normal distributionニューメリカルテクノロジーズ株式会社
^ M. Kotani, T. Sunada (2003). “Spectral geometry of crystal lattices”. Contemporary. Math. 338: 271–305. doi:10.1090/conm/338/06077.
^ M. Kotani, T. Sunada (2006). “Large deviation and the tangent cone at infinity of a crystal lattice”. Math. Z. 254: 837–870. doi:10.1007/s00209-006-0951-9.
^ ランダムウォークに関する話題から ―逆正弦法則について―小杉のぶ子（東京海洋大学海洋工学部）
^ “つき”の数理-逆正弦法則について^{[リンク切れ]}大阪大学基礎工学研究科会田研究室
^ ランダムウォーク^{[リンク切れ]}
^ 電気回路とランダム・ウォーク2002年3月17日確率統計委員会・深川久（豊中高校）
^ 井上純一 (2004年). “確率モデルを用いたフラクタル図形の作成に関する実験手引書” (pdf). 北海道大学. p. 12. 2020年5月18日閲覧。
^ ランダムウォークと統計力学岡部豊^{[リンク切れ]}