ランダムに配した点がなす直線

80 4-point near-alignments of 137 random points

平面上にある一定の領域を定めてそこに多数の点をランダムに配置すると、それらの点を結ぶ線がいくつも引ける、ということが統計学的に言える。（人類学的な見地、超自然論的な見地に対して）この事実から、レイライン（直列配置）が人為的な何かでなく、単に偶然に存在しているだけだと言うことを証明できるとする者もいる。

一般に受け入れられている"直列配置"の正確な定義は、

地球上に配置された地点のうち何点かが幅 $w$ の直線道に乗っている状態

と表現できる。

"幅 $w$ の直線道"とは、平面上か球の大円上、あるいはもっと一般的にその他の測量上の多様な形状など、どのように地球を近似した場合においても、数学的な意味での直線からの距離が $\frac{w}{2}$ 以下になる地点の集まりだといえる。このやり手法を用いると、ごく小さい差異しかない直列配置が無数に生まれることになるのを注意されたい。よって少なくとも一本の直列配置が、その点の配置を直列配置だと決定するのに必要である。上記のような事情から、直列配置そのものを探すよりも、それらしい点の集まりを数えていくほうが簡便である。

幅 $w$ は重要なパラメータである。というのも、実世界は数学的な図上の点では表現できないし、直列配置だと認めるのに、厳密に直線状に乗っている必要はないからである。

例を挙げよう。1mm芯の鉛筆で50000分の1の地図に線を引くと、それは実際には50mの幅の線に相当する。

偶然に直列配置が発生する可能性を見積もる

統計的に見て、ある地域の中に直列配置を見つけることは、想定する範囲を広げるほど急な変化で簡単になっていく。この現象を理解するためには、範囲が広くなって直線的に並びにくくなることを押しのけるほど、どの点を選ぶかという組合せの選択肢が勢いよく増加する点に着目しなければならない。

見つけられる直列配置の本数はその線幅 $w$ に非常に敏感で、およそ$w^{k-2}$に比例する。 ここで$k$は直列配置に属するポイントの個数である。

こういった数学的な興味深い知見から、以下に直列配列と思わしきものの"それらしさ"を概算する。なお、対象は"重要な"点が一様に分布した平面を仮定している。

一辺$d$で面積が$d^2$となる小さな領域に$n$個のポイントがあるとする。すべての点がある直線から $\frac{w}{2}$ の距離に収まっているとする。（線幅は領域サイズに比べ十分小さい、つまり$w<<d$とする。）

ランダムに配置された点が全部で$k$個であるとすると、この中から$n$個の組を取り出す組み合わせは、

$\frac {n!} {(n-k)!k!}$

であらわされる。 では、こうした手法を用いるとき、これらの点が直線をなす(collinearである)確率はどうやって求めればよいか。近似を用いて粗い精度で考察してみたい。

直線を描くとみた$k$個の点の集まりの中から一番左と一番右の点を取り出して考えてみる。(別のケースとして、垂直な、一番上と一番下の点を選ぶ場合を考えてもよい。)これら2点が直線を定義するとみなす。残り$k-2$個の点が充分にこの直線の近くにいる確率は$\frac{w}{d}$であらわされる。(これは領域を横断するこの直線が作る面積$wd$を領域の面積$d^2$で割ることで求まる。)

そうして、$k$個の点を含む直線の本数は、ごく粗く見て

$\frac {n!} {(n-k)!k!} \left({\frac{w}{d}}\right)^{k-2}$

とあらわせる。ここで$k<<n$とすると、

$\frac {n^k} {k!} \left({\frac{w}{d}}\right)^{k-2}$

となり、点の数密度$\alpha$により$n= \alpha d^2$とあらわせることから、上式は

$\frac {\alpha^k d^{2k}} {k!} \left( {\frac{w}{d}} \right)^{k-2}$

と書き換えられ、これを領域の面積$d^2$で割ると、

$\frac 1 {d^2} \frac {\alpha^k d^{2k}} {k!} \left( {\frac{w}{d}} \right)^{k-2}$

が得られる。これを整理して、$k$個の点を含む直線の存在密度(単位面積あたり何本存在するか)は、以下のように求まる。

$d^k \frac {\alpha^k} {k!} w^{k-2}$

このように、想像に反して$k$個の点を含む直線の本数は、領域の長さ$d$に比例するどころでなくそれ以上の勢いで増加する。

計算機シミュレーションによる検証

607 4-point alignments of 269 random points

計算機を用いたシミュレーションによって、レイライン探索家が発見したレイラインの数と平面上にランダムに点を配して引けた線の数とがよく一致することが確かめられた。これはレイラインがまったく偶然の産物である可能性を示唆している。

この現象は、計算機が使った乱数が擬似乱数であることや、本屋やコンビニエンスストアのようにどこにでもいくらでもあるような、ありふれたものを対象に選んでしまったことに気付かないために起こる問題である。

充分小さいデータ数でも、幅50mに4点から8点ほど乗る直線はすぐに見つかる。領域を広く取ったり幅を広く取れば20点くらい乗る直線ですら簡単に引けるようになる。

The simulation used alignments crossing long distances and alignments of two points close together and the third a long distance away. Allowing only lines of close points would radically alter this picture.

関連項目

• レイライン