ラミの定理

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ラミの定理(ラミのていり、: Lami's theorem)は、静力学における定理。考案者は、フランス数学者神学者ベルナール・ラミ(Bernard Lamy、1640年-1715年)である。

定理[編集]

1点に作用する3つの力F1 , F2 , F3 が釣り合い状態にあるならば、その大きさと作用線のなすの間に次式が成り立つ。

 \frac{F_1}{\sin\theta_1}=\frac{F_2}{\sin\theta_2}=\frac{F_3}{\sin\theta_3}

ここで、θ1F2F3 の成す角、θ2F3F1 の成す角、θ3F1F2 の成す角である。

証明[編集]

座標系を用いる証明[編集]

F1 の向きにx 軸をとると、それぞれの力は次のように表される。

\begin{align}
\mathbf{F}_1 &= (F_1,0) \\
\mathbf{F}_2 &= (F_2\cos\theta_3,  F_2\sin\theta_3) \\
\mathbf{F}_3 &= (F_3\cos\theta_2, -F_3\sin\theta_2) \\
\end{align}

これらの力が釣り合っているから、その和のy 成分を考えれば

\frac{F_2}{\sin\theta_2} = \frac{F_3}{\sin\theta_3}

が成り立つ。

F1 /sinθ1 についても、F2 の向きにx 軸を取り直し同様のことを考えればよい。

正弦定理を用いる証明[編集]

3つのベクトルF1 , F2 , F3 を、三角形ができるよう配置しなおす。この三角形に対し正弦定理を適用すると、

 \frac{F_1}{\sin(\pi-\theta_1)}=\frac{F_2}{\sin(\pi-\theta_2)}=\frac{F_3}{\sin(\pi-\theta_3)}

が成り立つ。sin(π-θ) = sinθであることを考えればラミの定理が成り立つ。

外部リンク[編集]