ラミの定理

ラミの定理（ラミのていり、英: Lami's theorem）は、静力学における定理。考案者は、フランスの数学者、神学者ベルナール・ラミ（Bernard Lamy、1640年-1715年）である。

定理

1点に作用する3つの力F₁ , F₂ , F₃ が釣り合い状態にあるならば、その大きさと作用線のなす角の間に次式が成り立つ。

$\frac{F_1}{\sin\theta_1}=\frac{F_2}{\sin\theta_2}=\frac{F_3}{\sin\theta_3}$

ここで、θ₁ はF₂ とF₃ の成す角、θ₂ はF₃ とF₁ の成す角、θ₃ はF₁ とF₂ の成す角である。

証明

座標系を用いる証明

F₁ の向きにx 軸をとると、それぞれの力は次のように表される。

$\begin{align} \mathbf{F}_1 &= (F_1,0) \\ \mathbf{F}_2 &= (F_2\cos\theta_3, F_2\sin\theta_3) \\ \mathbf{F}_3 &= (F_3\cos\theta_2, -F_3\sin\theta_2) \\ \end{align}$

これらの力が釣り合っているから、その和のy 成分を考えれば

$\frac{F_2}{\sin\theta_2} = \frac{F_3}{\sin\theta_3}$

が成り立つ。

F₁ /sinθ₁ についても、F₂ の向きにx 軸を取り直し同様のことを考えればよい。

正弦定理を用いる証明

3つのベクトルF₁ , F₂ , F₃ を、三角形ができるよう配置しなおす。この三角形に対し正弦定理を適用すると、

$\frac{F_1}{\sin(\pi-\theta_1)}=\frac{F_2}{\sin(\pi-\theta_2)}=\frac{F_3}{\sin(\pi-\theta_3)}$

が成り立つ。sin(π-θ) = sinθであることを考えればラミの定理が成り立つ。

外部リンク

• ラミの定理の証明