ミンコフスキー汎関数

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数学関数解析学の分野におけるミンコフスキー汎関数(ミンコフスキーはんかんすう、: Minkowski functional)とは、線型空間上に距離の概念をもたらすような関数のことである。

K を、線型空間 V に含まれる対称な凸体とする。V 上の関数 p

p(x) = \inf \{ \lambda \in \mathbb{R}_{> 0} : x \in \lambda K \}

によって定める(ただしこの右辺が well-defined である場合)[1]

動機[編集]

例1[編集]

ノルム線型空間 X を考える。そのノルムは ||·|| で表されるものとする。K を、X に含まれる単位球とする。関数 p: XR

p(x) = \inf \left\{r > 0: x \in r K \right\}

によって定める。このとき、p(x) = \|x\| が成立するため、p はまさしく X 上のノルムということになる。この p はミンコフスキー汎関数の特別な例である。

例2[編集]

X を、スカラーの体(基礎体)K による位相を備えない線型空間とする。φ ∈ X′ を、X の代数的双対とする。すなわち、φ: XKX 上の線型汎関数である。a > 0 を固定し、集合 K

K = \{ x \in X : | \varphi(x) | \leq a \}

によって定める。ふたたび、関数

p(x) = \inf \left\{r > 0: x \in r K \right\}

を定める。すると、

p(x) = \frac{1}{a} | \varphi(x) |

が成立する。この関数 p(x) もミンコフスキー汎関数の特別な例である。これは次のような性質を備えている:

  1. 劣加法的である: p(x + y) ≤ p(x) + p(y).
  2. 同次的である: すべての αK に対して、p(α x) = |α| p(x) が成り立つ。
  3. 非負である。

以上の性質から p は、誘導位相を備えた X 上の半ノルムということになる。これは「良い」集合を通して定義されたミンコフスキー汎関数の特性である。半ノルムと、そのような集合によって与えられたミンコフスキー汎関数との間には一対一の対応が存在する。ここで言う「良い」という語の正式な意味は、後述の節を参照されたい。

強い条件の要請されるノルムと比較して、半ノルムであるこの場合では p(x) = 0 は必ずしも x = 0 を意味しないことに注意されたい。上の例では、φ の核にはゼロでない x が含まれている。したがって、結果として導かれる位相は必ずしもハウスドルフではない。

定義[編集]

上の例では、与えられた(複素あるいは実)線型空間 X およびその部分集合 K に対し、対応するミンコフスキー汎関数

p_K\colon X \to [0, \infty)

p_K (x) = \inf\{r > 0: x \in r K\}

によって定義することが出来ると示唆していた。このような関数はしばしば K の計測関数(gauge)と呼ばれる。

この定義では、非明示的に 0 ∈ K および、集合 {r > 0: xr K} が空でないことが仮定されている。pK が半ノルムの性質を備えるためには、K にさらなる追加条件が必要となる。それは次のようなものである:

  1. Kである(これは pK の劣加法性を意味する)。
  2. K は均衡である。すなわち、すべての |α| ≤ 1 に対して αKK が成立する(これは pK の同次性を意味する)。

これらの条件を満たす集合 K は、絶対凸と呼ばれる。

K の凸性[編集]

K の凸性は関数 pK の劣加法性を意味する、ということは次のような簡単な幾何的な議論によって示される: 便宜的に pK(x) = pK(y) = r を仮定する。すると、任意の ε > 0 に対して x, y ∈ (r + ε) K = K′ となる。K が凸であるという仮定により、 K' もまた凸であることが分かる。したがって、½ x + ½ yK' に含まれる。ミンコフスキー汎関数 pK の定義により、

p_K\left( \frac{1}{2} x + \frac{1}{2} y\right) \le r + \epsilon = \frac{1}{2} p_K(x) + \frac{1}{2} p_K(y) + \epsilon

が得られるが、この左辺は ½ pK(x + y) であるため、

p_K(x + y) \le  p_K(x) + p_K(y) + \epsilon \quad \forall \epsilon > 0

が得られる。これが劣加法性に関する求める不等式である。一般の pK(x) > pK(y) の場合については、簡単な修正を加えることで分かる。

注意 集合 {r > 0: xr K} が空でないという元々の仮定の下で K が凸であるということは、K吸収的集合であることを意味する。

K の均衡性[編集]

K が均衡であるということは

\lambda x \in r K \quad \mbox{if and only if} \quad x \in \frac{r}{|\lambda|} K

を意味することに注意されたい。したがって、

p_K (\lambda x) = \inf \left\{r > 0:  \lambda x \in r K \right\} 
=  \inf \left\{r > 0:  x \in \frac{r}{|\lambda|} K \right\}
= \inf \left\{ | \lambda | \frac{r}{ | \lambda | } > 0:  x \in \frac{r}{|\lambda|} K \right\}
= |\lambda| p_K(x)

を得る。

関連項目[編集]

注釈[編集]

  1. ^ Thompson (1996) p.17

参考文献[編集]