ベクトルのなす角

平面や空間上では、ふたつのベクトルのなす角は図形的に求めることができる。そしてベクトルはさらに、図形とは無関係なベクトルに一般化されるが、この一般的なベクトルでも二つのベクトルのなす角を定義することができ、それにはベクトルの長さと内積を用いる。

任意のベクトル $x, y$ について、次の値がベクトルのなす角となる。

${\rm Arccos}\,\frac{\langle x,y \rangle}{||x|| \, ||y||}$

<x, y> は x, y の内積、 ||x|| は x のノルム（長さ）である。

ベクトルのなす角が 0 の場合、二つのベクトルは一次従属すなわち方向が同じであり、π/2 の場合は直交する。この性質から、二つのベクトルがどれだけ類似しているかの尺度として、ベクトルのなす角の余弦である次の値をベクトルの類似度とする場合がある。

$\frac{\langle x,y \rangle}{||x|| \, ||y||}$

この値は二つのベクトルが一次従属する（もっとも類似している）場合 1、直交する（まったく類似していない）場合 0 になる。