ヘンペルのカラス
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ヘンペルのカラス(Hempel's ravens)とは、カール・ヘンペルが1940年代に提出した、帰納法が抱える根本的な問題（problem of induction）を喚起する問題である。また、対偶論法による帰納的実証の、直観との相違を指摘した問題である[要出典]、とも。「カラスのパラドックス」とも呼ばれるが、パラドックスとして扱うべきかどうかには異論もあるため[1]、本稿ではこの呼び方を避ける。
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[編集] 概要
「ヘンペルのカラス」は「全てのカラスは黒い[注釈 1]」という命題を証明する以下のような対偶論法を指す[2]。
「AならばBである」という命題の真偽は、その対偶「BでないものはAでない」の真偽と必ず同値となる[3][4][5]。全称命題「全てのカラスは黒い」という命題はその対偶「黒くないものはカラスでない」と同値であるので、「全てのカラスは黒い」という命題を証明するには「全ての黒くないものはカラスでない」ことを証明すれば良い[3][4]。そして「全ての黒くないものはカラスでない」という命題は、世界中の黒くないものを順に調べ、それらの中に一つもカラスがないことをチェックすれば証明することができる[4]。こうして、カラスを一羽も調べること無く、「カラスは黒い」という命題が、事実に合致するか否かを証明できるのである[3][4]。これは日常的な感覚からすれば奇妙にも見える[3][4]。
こうした、一見素朴な直観に反する論法の存在を示したのが「ヘンペルのカラス」である。「ヘンペルのカラス」は対偶論法の間違いを指摘している、との解説がなされることもあるが[要出典]、本来はそうではない。合理的・論理的でないのは人間の直観の方で[要出典]、対偶論法にしろ「ヘンペルのカラス」にしろ論理学的には何の問題もない論法である[3]。つまり正しくは、「ヘンペルのカラス」は人間の直観の危うさの方を指摘した論法である。[要出典]
[編集] なぜ直観に反するか
「ヘンペルのカラス」が直観に反する理由の一つとして、「黒くないもの」の数が想像を絶して大きいことが挙げられる[3][4]。ある命題について、それが真であることを確かめるには個々の事例を全て調べ尽くすことができればよい。命題の正しさの信頼度合は、調べた事例の全事例に対する比率に一致する（確証性の原理）[3]。しかし「黒くないものはカラスではない」という命題の真偽を調べる場合、また「黒くないもの」の数は極めて大きいので、「黒くないもの」を全て調べることは事実上不可能である[6][4]。この論法を「カラスのパラドックス」とも呼ぶのは、ヘンペルの論法に従って「カラスが黒い」ことを証明するのが現実には不可能であるという見地に立ったものである[6]。このように不可能なことを可能であるかのように扱う論法は、相手を納得させるための証明手段としては不適切である[4]。
一方、実際に調べなければならない個々の事例が常識的な数であれば、対偶論法による証明は有効である[7]。例えばカラスを含む数十種類の動物を飼っている動物園があったとする。この動物園には、赤・青・黄色・黒の4つの檻があり、この他の檻や、檻の外で飼育されている動物は存在しない。黒以外の3つの檻をすべて見終わった時点で、（黒以外の）どの檻にもカラスはいないことを確かめた。このとき、カラスがこの動物園で飼育されているという前提が確かならば、「カラスは黒い檻にいる」ということは、実際にカラスを見るまでもなく明らかである。
また、元の命題に当てはまるものが対象全体のうち多数を占める場合など、対偶を調べた方が容易となる場合もある[8][4]。例えば多数のカラスで構成された群れの中に、少数の黒くないものが混じっているような場合に、群れの中の全てのカラスが黒いことを証明するような場合がそうである[8]。
[編集] 直観主義論理との関係
以上の説明で分かるように、対偶論法を用いると日常の感覚とは相反する帰結が得られる。特に、宇宙には無限に「黒くないもの」があるとすれば、実際にヘンペルの論法を証明に用いることはできなくなる。「黒くないものはカラスでない」ことを証明するために「黒くないもの」を順に調べようとしても、その作業は永遠に終わらないからである。ゆえに、ヘンペルの論法はこの場合には適用できない。
通常の論理学では、この作業が仮に不可能であってもヘンペルの論法は正しいことになる[3]。従って、実際には証明の遂行ができなくても「論理的には正しい」ということになり、感覚的には奇妙な結論が得られる。そこでこうした超越的な操作や奇妙さを取り除いた、より「直観に合致する」論理学が(通常の論理学とは別に)構築された。ヘンペルの論法の核心部分である対偶論法が原因であるとする考えから、対偶論法を認めない、という立場をとったのが直観主義論理学である。すなわち、直観主義論理は対偶論法から演繹される事実を普通の論理学体系から取り去ったものであり、日常の感覚と論理学上の帰結を合致させたものである。[要出典]
[編集] 白いカラスの実在
余談であるが、「全てのカラスは黒い」という命題は反証されている[9]。というのも、アルビノもしくは白変種のカラス、すなわち「黒くない」カラスの実在が観測されているからである[6][9][10][11]。また、東南アジアに生息するカラスの多くは、腹が白い、全体に灰色であるなど、黒一色でない。このように黒くないカラスが1羽でも見つかれば、全称命題である「全てのカラスは黒い」は誤りであると証明することができる[9]。「全てのカラスは黒い」という仮定が誤りであることと、その対偶「黒くないものはカラスでない」もまた誤りであることは同値である。
こうした事実は、科学の分野における命題には、実験や観察といった経験によって誤りであることが証明される可能性（反証可能性）があることを示している[9]。
[編集] 脚注
[編集] 注釈
[編集] 出典
- ^ 森田 2010, p. 31
- ^ 森田 2010, pp. 31-32
- ^ a b c d e f g h 森田 2010, p. 32
- ^ a b c d e f g h i やさしくわかる数学のはなし77, p.136
- ^ “たいぐう【対偶】”, デジタル大辞林（goo辞書）, 三省堂 2011年8月23日閲覧。
- ^ a b c 逢沢 2001, p. 74
- ^ やさしくわかる数学のはなし77, p.137
- ^ a b 森田 2010, p. 169
- ^ a b c d 森田 2010, p. 34
- ^ “白いカラス発見 撮影に成功 - 四日市”. 伊勢新聞 (伊勢新聞社). (2008年10月22日)
- ^ “あれっ、純白のカラス”. 琉球新報 (琉球新報社). (1997年9月4日) 2009年11月26日閲覧。
[編集] 参考文献
- 逢沢明 『頭がよくなる論理パズル』 PHP研究所〈PHP文庫〉、2001年7月、73-74頁。ISBN 4-569-66198-X。
- 森田邦久 『理系人に役立つ科学哲学』 化学同人、2010年6月、26-43,169頁。ISBN 978-4-7598-1432-3。
- 『やさしくわかる数学のはなし77 ゼロ、虚数からリーマン予想までまるごとわかる数学ガイド』 岡部恒治（監修）、学研マーケティング〈学研雑学百科〉、2010年12月、136-137頁。ISBN 978-4-05-404766-2。
[編集] 関連記事
[編集] 外部リンク
- （百科事典）「Carl Hempel」 - スタンフォード哲学百科事典にある「ヘンペルのカラス」についての項目。（英語）
- （百科事典）「Carl Gustav Hempel」 - インターネット哲学百科事典にある「ヘンペルのカラス」についての項目。（英語）
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