ヘルムホルツの定理

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数学においてヘルムホルツの定理(へるむほるつのていり、Helmholtz's theorem)とは、ベクトル解析における定理の一つ。ベクトル場回転なしの場(縦成分)と発散なしの場(横成分)に分解する。ヘルムホルツ分解(Helmholtz's decomposition)とも呼ばれる。定理の名はドイツの物理学者ヘルムホルツに因む。


概要[編集]

3 次元の任意のベクトル場F(x)に対し、スカラーポテンシャルφとベクトルポテンシャルA


\mathbf{F}=-\nabla \phi + \nabla \times \mathbf{A}
=-\mathrm{grad}\, \phi + \mathrm{rot} \, \mathbf{A}

を満たすものが存在する。すなわち、φの勾配で表される項とA回転で表される項に分解した表示ができる。これをヘルムホルツの定理と呼ぶ。

φとA の取り方は一意的ではなく、gradc =0c:任意の定数)やrot(grad χ) =0(χ:任意のスカラー関数)に注意すると、スカラーポテンシャルφには任意の定数項c を加える自由度、ベクトルポテンシャルAには任意のスカラー関数χによる grad χの項を加える自由度が独立に存在する。そのほかにも、φに Δψ=0 を満たす調和関数ψを加え、Aにそれを打ち消す項を加える自由度等が存在する。

応用上、よく用いられるφとAの与え方として、


\phi(\mathbf{x})=\frac{1}{4\pi}
\int 
\frac{\nabla' \cdot \mathbf{F}(\mathbf{x}')}{|\mathbf{x}'-\mathbf{x}|}
\, d^3\mathbf{x}'

\mathbf{A}(\mathbf{x})=\frac{1}{4\pi}
\int 
\frac{\nabla' \times \mathbf{F}(\mathbf{x}')}{|\mathbf{x}'-\mathbf{x}|}
\, d^3\mathbf{x}'

が存在する。但し、この体積分が定義されるためには、ベクトル場F(x)が遠方で十分早く0に近づくことが必要である。

分解の意味

\mathbf{F}_L=-\nabla \phi

\mathbf{F}_T=\nabla \times \mathbf{A}

とすると


\nabla \times \mathbf{F}_L = \mathrm{rot}\,\mathbf{F}_L = \mathbf{0}

\nabla \cdot \mathbf{F}_T = \mathrm{div}\,\mathbf{F}_T = 0

であり、元のベクトル場F回転なし(渦なし)のベクトル場FL発散なし(循環的)のベクトル場FTに分解されていることがわかる。FLは∇に平行な縦成分(longitudinal component)、FTは∇に垂直な横成分(transverse component)に相当する。

縦成分と横成分の意味はフーリエ変換


\mathbf{F}(\mathbf{x})=\frac{1}{(2\pi)^3}
\int e^{i\mathbf{k}\cdot \mathbf{x}}\mathbf{F}(\mathbf{k})
d^3\mathbf{k}

を用いると、さらに明瞭になる。 実際、FL(x)、FT(x)のフーリエ変換FL(k)、FT(k)を考えると、


\mathbf{k} \parallel \mathbf{F}_L(\mathbf{k})

\mathbf{k} \perp \mathbf{F}_T(\mathbf{k})

であり、F(k)がkに平行な成分FL(k)とkに垂直な成分FT(k)に分解されていることがわかる。なお、FL(k)、FT(k)は、


 \mathbf{F}_L(\mathbf{k})=(\mathbf{k}\cdot \mathbf{F}(\mathbf{k}))\frac{\mathbf{k}}{k^2}

 \mathbf{F}_T(\mathbf{k})=(\mathbf{k} \times \mathbf{F}(\mathbf{k})) \times  \frac{\mathbf{k}}{k^2}

の関係を満たす。

参考文献[編集]

  • 岩堀長慶『ベクトル解析』裳華房(1960年)ISBN 9784785313029
  • 太田浩一『マクスウエル理論の基礎 相対論と電磁気学』東京大学出版会(2002年)ISBN 9784130626040

関連項目[編集]