ヘルムホルツの定理

数学においてヘルムホルツの定理(へるむほるつのていり、Helmholtz's theorem)とは、ベクトル解析における定理の一つ。ベクトル場を回転なしの場（縦成分）と発散なしの場（横成分）に分解する。ヘルムホルツ分解（Helmholtz's decomposition）とも呼ばれる。定理の名はドイツの物理学者ヘルムホルツに因む。

概要

3 次元の任意のベクトル場F(x)に対し、スカラーポテンシャルφとベクトルポテンシャルAで

$\mathbf{F}=-\nabla \phi + \nabla \times \mathbf{A} =-\mathrm{grad}\, \phi + \mathrm{rot} \, \mathbf{A}$

を満たすものが存在する。すなわち、φの勾配で表される項とAの回転で表される項に分解した表示ができる。これをヘルムホルツの定理と呼ぶ。

φとA の取り方は一意的ではなく、gradc =0（c：任意の定数）やrot(grad χ) =0（χ：任意のスカラー関数）に注意すると、スカラーポテンシャルφには任意の定数項c を加える自由度、ベクトルポテンシャルAには任意のスカラー関数χによる grad χの項を加える自由度が独立に存在する。そのほかにも、φに Δψ=0 を満たす調和関数ψを加え、Aにそれを打ち消す項を加える自由度等が存在する。

応用上、よく用いられるφとAの与え方として、

$\phi(\mathbf{x})=\frac{1}{4\pi} \int \frac{\nabla' \cdot \mathbf{F}(\mathbf{x}')}{|\mathbf{x}'-\mathbf{x}|} \, d^3\mathbf{x}'$

$\mathbf{A}(\mathbf{x})=\frac{1}{4\pi} \int \frac{\nabla' \times \mathbf{F}(\mathbf{x}')}{|\mathbf{x}'-\mathbf{x}|} \, d^3\mathbf{x}'$

が存在する。但し、この体積分が定義されるためには、ベクトル場F(x)が遠方で十分早く0に近づくことが必要である。

分解の意味

$\mathbf{F}_L=-\nabla \phi$

$\mathbf{F}_T=\nabla \times \mathbf{A}$

とすると

$\nabla \times \mathbf{F}_L = \mathrm{rot}\,\mathbf{F}_L = \mathbf{0}$

$\nabla \cdot \mathbf{F}_L = \mathrm{div}\,\mathbf{F}_L = 0$

であり、元のベクトル場Fが回転なし（渦なし）のベクトル場F_Lと発散なし（循環的）のベクトル場F_Tに分解されていることがわかる。F_Lは∇に平行な縦成分（longitudinal component）、F_Tは∇に垂直な横成分（transverse component）に相当する。

縦成分と横成分の意味はフーリエ変換

$\mathbf{F}(\mathbf{x})=\frac{1}{(2\pi)^3} \int e^{i\mathbf{k}\cdot \mathbf{x}}\mathbf{F}(\mathbf{k}) d^3\mathbf{k}$

を用いると、さらに明瞭になる。 実際、F_L(x)、F_T(x)のフーリエ変換F_L(k)、F_T(k)を考えると、

$\mathbf{k} \parallel \mathbf{F}_L(\mathbf{k})$

$\mathbf{k} \perp \mathbf{F}_T(\mathbf{k})$

であり、F(k)がkに平行な成分F_L(k)とkに垂直な成分F_T(k)に分解されていることがわかる。なお、F_L(k)、F_T(k)は、

$\mathbf{F}_L(\mathbf{k})=(\mathbf{k}\cdot \mathbf{F}(\mathbf{k}))\frac{\mathbf{k}}{k^2}$

$\mathbf{F}_T(\mathbf{k})=(\mathbf{k} \times \mathbf{F}(\mathbf{k})) \times \frac{\mathbf{k}}{k^2}$

の関係を満たす。

参考文献

• 岩堀長慶『ベクトル解析』裳華房（1960年）ISBN 9784785313029
• 太田浩一『マクスウエル理論の基礎　相対論と電磁気学』東京大学出版会（2002年）ISBN 9784130626040

関連項目

• ベクトル解析
  • スカラーポテンシャル
  • ベクトルポテンシャル