ブーケ (数学)

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四弁のブーケ

数学における(円の)ブーケbouquet; 花束)はの集まり(無限個でもよい)を一点貼り合わせて得られる位相空間である。円のブーケのことをバラ (rose) ともいう。ブーケは自由群に近しい関係をもち、代数的位相幾何学において重要である。

円を束ねたブーケ (bouquet of circles) の一般化として、円 S1 の代わりに任意次元の球面 Sn を束ねて得られるブーケを球面のブーケ (bouquet of spheres) という。

定義[編集]

「8の字」の基本群ab で生成される自由群である。

円のブーケは複数の円周一点和(ウェッジ和)として得られる。つまり、円周 S1p-個の複写 S11, S12, ..., S1p とそれらのおのおのから選んだ一点 xiS1i からなる基点付き円周の集合 {(S1i, xi) | i = 1, 2, ..., p} が与えられたとき、これら p-個の円周の非交和(集合論的直和)を各基点 xi を全て一点に同一視して得られる商位相空間

\underbrace{S^1\vee S^1 \vee \cdots \vee S^1}_{p} := (S^1_1 \sqcup S^1_2 \sqcup \cdots \sqcup S^1_p)/\{x_1\sim x_2 \sim \cdots \sim x_p\}

p- (petal)のブーケと呼ぶ(この右辺の同相類が基点の選び方に依らないことに注意)。胞体複体としてブーケはただ一つの頂点と各円に対応する辺をもつ。これは位相グラフの簡単な例を与える。

n-弁のブーケは一つの円周上の n-点を同一視することでも得られる。二弁のブーケは「8の字(figure eight) としても知られる。

自由群との関係[編集]

「8の字」の普遍被覆ab で生成される自由群のケーリーグラフによって視覚化したもの。

n-弁のブーケの基本群は各弁に対応する n-個の生成元をもつ自由群であり、ブーケの普遍被覆はこの自由群のケーリーグラフ英語版と同一視することのできる無限木である(これは任意の群の表示に対応する表示複体英語版の特別の場合である)。

ブーケの中間被覆は、対応する自由群の部分群に対応する。ブーケの任意の被覆がグラフであることに着目すれば「自由群の任意の部分群は自由である」というニールセン-シュライヤーの定理の簡単な証明が得られる。

ブーケの普遍被覆は可縮であるから、ブーケは実質的に対応する自由群 F に対するアイレンベルク-マクレーン空間英語版である。これは、n ≥ 2 に対するコホモロジーHn(F) が自明であることを意味している。

性質[編集]

トーラスに載った「8の字」
  • 任意の連結グラフはブーケにホモトピー同値である。特に、極大木を折り畳んで得られるグラフの商位相空間としてブーケが得られる。
  • 円板 D2 から n-点を取り除いたもの(あるいは球面 S2 から (n + 1)-点を取り除いたもの)の変位レトラクトn-弁のブーケである。このブーケの各弁は取り除いた点のそれぞれを取り囲むものである。
  • トーラス T2 から一点を除いたものの変位レトラクトは「8の字」(ふたつの生成円の一点和)である。もっと一般に、種数 g の曲面から一点を除いたものの変位レトラクトは(基本多角形の境界としての) 2g 枚の弁をもつブーケとなる。
  • 無限個の円を束ねたブーケから無限個の生成元を持つ自由群が得られる。無限弁のブーケはハワイの耳飾に似ているが同相ではない。

球面のブーケ[編集]

n-次元球面 Snk-個の複写の一点和

\bigvee_{i=1}^k S^n = \overbrace{S^n \vee S^n \vee \cdots \vee S^n}^{k}

k-弁の球面ブーケという。

ホモトピーにおけるよくある構成は n-次元球面 Sn の赤道に属する点をすべて同一視することである。こうして得られるものは、二つの球面の複写を(もともとの赤道であった)一点でつないで得られる

S^n/{\sim} = S^n \vee S^n

である。写像 Ψ を赤道を一点に同一視する写像 Ψ: SnSnSn とすれば、基点 x0X 付き位相空間 (X, x0) の n-次元ホモトピー群 πn(X, x0) の二つの元 f, g の和を、f および g の Ψ との合成

f+g = (f \vee g) \circ \Psi

として理解することができる。ここで、f および gf, g: SnX なる写像で、基点 s0Sn を基点 x0X に写すようなものとして考えるものとする。上で与えた二つの写像のウェッジ和は、台空間となるウェッジ和の中で同一視される基点において f(s0) = g(s0) = x0 となることから定義可能であるということに注意。

関連項目[編集]

参考文献[編集]