フェルミ分布関数

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統計力学
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熱力学 · 気体分子運動論
温度ごとのフェルミ分布関数

フェルミ分布関数(フェルミぶんぷかんすう、英語: Fermi distribution function)とは、相互作用のないフェルミ粒子の系において、一つのエネルギー準位にある粒子の数(占有数)の分布を与える理論式である[1]。フェルミ・ディラック分布とも呼ばれる。

エネルギーが ε に等しい準位の占有数を与えるフェルミ分布関数は

f(\epsilon) = \frac{1}{\mathrm{e}^{\beta(\epsilon-\mu)} +1}

で表される。パラメータ β は系の温度と解釈され、熱力学温度 Tβ=1/kT で関係付けられる逆温度である。μ は系の化学ポテンシャルである。

絶対零度T→0β→∞)の極限では、フェルミ分布関数はヘヴィサイドの階段関数を用いて

\lim_{\beta\to\infty}f(\epsilon) =\theta(\mu -\epsilon) =
\begin{cases}
 1 & (\epsilon < \mu) \\
 0 & (\epsilon > \mu) \\
\end{cases}

となる。このときの化学ポテンシャルはフェルミエネルギーに等しい。

量子数 ν で指定される準位のエネルギーを εν とすれば、このエネルギー準位の占有数 nν の統計的期待値は

\langle n_\nu \rangle =f(\epsilon_\nu)

で与えられる。フェルミ分布関数は0から1の間の値をとる。これはパウリの排他原理によりフェルミ粒子が一つの準位には一つまでしか入らないことを反映している。

関連項目[編集]

参考文献[編集]

  1. ^ 東京大学 知の構造化センター「物性物理学入門 (進化する教科書 Wiki)」[1]