フェルマー=カタラン予想

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フェルマー=カタラン予想(-よそう、:Fermat–Catalan conjecture)とはフェルマーの最終定理カタラン予想を結びつけて提起された数論予想である。内容は以下の方程式自然数解について述べたものである。

a^m + b^n = c^k\quad

ここで a, b, c互いに素な自然数で、m, n, k は以下の不等式を満たす自然数とする。

\frac{1}{m}+\frac{1}{n}+\frac{1}{k}<1

この予想は上記の方程式と不等式をともに満たす a, b, c, m, n, k の6つの数の組が有限個であるという命題である。上の不等式から m, n, k は全て2以上で、うち少なくとも二つは2より大きい。
m = n = k = 2 の場合は a, b, cピタゴラス数であって、方程式を満たす a, b, c の組は無限個あることが分かっているが、これらは上の不等式を満たさないので不適である。
また m≧3 で m = n = k の場合は a, b, c はフェルマーの最終定理の方程式を満たす自然数解であるが、それらは存在しないことがワイルズによって証明されている。

知られている解と関連する予想[編集]

2008年現在、以下の10個の解が知られている。[1]

1^m+2^3=3^2\;
2^5+7^2=3^4\;
13^2+7^3=2^9\;
2^7+17^3=71^2\;
3^5+11^4=122^2\;
33^8+1549034^2=15613^3\;
1414^3+2213459^2=65^7\;
9262^3+15312283^2=113^7\;
17^7+76271^3=21063928^2\;
43^8+96222^3=30042907^2\;

最初の 1^m+2^3=3^2 では m は上記の不等式を満たすために6より大きい数である必要があり、カタラン予想の方程式を唯一満たす解を表している。フェルマー=カタラン予想ではこの解の m の値の違いは考えずに、それらは全て一つの解とみなす。カタラン予想は2002年プレダ・ミハイレスクによって解決された。
ファルティングスの定理からは上記の不等式を満たす m, n, k のそれぞれの組について、有限個の a, b, c の組の解が存在することが示されるが、フェルマー=カタラン予想のほうがより強い予想である。これは条件の不等式を満たす m, n, k の3つ組は無限個の組み合わせがあり、したがって m, n, k, a, b, c の6つ組にも無限個の組み合わせがあるとも考えられるからである。
今まで見つかっている解のなかでは、m, n, k のうち1つは 2 である。また、そのなかでは m, n, k互いに素である。m, n, k が全て 3 以上で a, b, c が互いに素であるような解はないという予想(Beal予想)がある。a, b, c が 1 より大きい公約数をもつ場合としては 3^3 + 6^3 = 3^5 などがある(この場合は 3 が公約数)。
ABC予想からフェルマー=カタラン予想を導くことができる。つまり、ABC予想が真ならばフェルマー=カタラン予想も真である。

脚注[編集]

  1. ^ ポメランス(2008), "Computational Number Theory", ガワース; Barrow-Green, June; Leader, Imre, The Princeton Companion to Mathematics, Princeton University Press, pp. 361–362, ISBN 978-0-691-11880-2 

関連項目[編集]