フェルマー＝カタラン予想

フェルマー＝カタラン予想（-よそう、英:Fermat–Catalan conjecture）とはフェルマーの最終定理とカタラン予想を結びつけて提起された数論の予想である。内容は以下の方程式の自然数解について述べたものである。

$a^m + b^n = c^k\quad$

ここで a, b, c は互いに素な自然数で、m, n, k は以下の不等式を満たす自然数とする。

$\frac{1}{m}+\frac{1}{n}+\frac{1}{k}<1$

この予想は上記の方程式と不等式をともに満たす a, b, c, m, n, k の6つの数の組が有限個であるという命題である。上の不等式から m, n, k は全て2以上で、うち少なくとも二つは2より大きい。
m = n = k = 2 の場合は a, b, c はピタゴラス数であって、方程式を満たす a, b, c の組は無限個あることが分かっているが、これらは上の不等式を満たさないので不適である。
また m≧3 で m = n = k の場合は a, b, c はフェルマーの最終定理の方程式を満たす自然数解であるが、それらは存在しないことがワイルズによって証明されている。

知られている解と関連する予想

2008年現在、以下の10個の解が知られている。

$1^m+2^3=3^2\;$

$2^5+7^2=3^4\;$

$13^2+7^3=2^9\;$

$2^7+17^3=71^2\;$

$3^5+11^4=122^2\;$

$33^8+1549034^2=15613^3\;$

$1414^3+2213459^2=65^7\;$

$9262^3+15312283^2=113^7\;$

$17^7+76271^3=21063928^2\;$

$43^8+96222^3=30042907^2\;$

最初の $1^m+2^3=3^2$ では m は上記の不等式を満たすために6より大きい数である必要があり、カタラン予想の方程式を唯一満たす解を表している。フェルマー＝カタラン予想ではこの解の m の値の違いは考えずに、それらは全て一つの解とみなす。カタラン予想は2002年にプレダ・ミハイレスクによって解決された。
ファルティングスの定理からは上記の不等式を満たす m, n, k のそれぞれの組について、有限個の a, b, c の組の解が存在することが示されるが、フェルマー＝カタラン予想のほうがより強い予想である。これは条件の不等式を満たす　m, n, k の3つ組は無限個の組み合わせがあり、したがって m, n, k, a, b, c の6つ組にも無限個の組み合わせがあるとも考えられるからである。
今まで見つかっている解のなかでは、m, n, k　のうち1つは 2 である。また、そのなかでは m, n, k は互いに素である。m, n, k　が全て 3 以上で a, b, c が互いに素であるような解はないという予想（Beal予想）がある。a, b, c が 1 より大きい公約数をもつ場合としては $3^3 + 6^3 = 3^5$ などがある（この場合は 3 が公約数）。
ABC予想からフェルマー＝カタラン予想を導くことができる。つまり、ABC予想が真ならばフェルマー＝カタラン予想も真である。

関連項目

• フェルマーの最終定理
• カタラン予想
• 数学上の未解決問題