フェルマー点

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フェルマー点

フェルマー点(フェルマーてん、トリチェリ点等角中心とも呼ばれる)は、三角形の3つの頂点からの距離の合計が最小になる点である。フェルマーが私信の中でこの問題に触れたことから彼の名がつけられている。

作図[編集]

フェルマー点は以下のように求められる。

  1. 三角形の3辺に対し、それぞれを1辺とする正三角形を三角形の外側に描く。
  2. 元の三角形の1つの頂点と,その向かい合う 元の三角形の辺を一辺とする正三角形の頂点のうち,もとの三角形と共有しない頂点とを結ぶ。
  3. 2.の3直線が交わる点がフェルマー点である。

1.の正三角形をそれぞれ三角形と同じ側に描いても、2.の直線は1点で交わる。この点を第2フェルマー点という。

フェルマー点の特徴[編集]

Fermat Point Proof.svg
  • 120度以上の角を持たない三角形において、3頂点からの距離の合計が最も小さくなる点である。
    • 120度以上の角を持つ三角形の場合、最も大きい角を持つ頂点がこの性質を満たす。
  • 120度以上の角を持たない三角形の場合、フェルマー点 F は三角形の内部にあり、∠AFB=∠BFC=∠CFA=120 を満たす。
  • 作図の項で描いた3つの正三角形の外接円はフェルマー点で交わる。
  • フェルマー点から3辺に下ろした垂線の足は正三角形となる。
  • フェルマー点・外心九点円の中心・第2フェルマー点は同一円周上にある。この円をレスター円という。

歴史[編集]

フェルマー点に関する問題は、フェルマートリチェリへの私信の中で出題している(このことからこの問題を「トリチェリの問題」という)。トリチェリはフェルマーと似たような方法(頂点を結ぶ直線ではなく外接円の交点を利用している)で解を求めている。トリチェリの弟子であったヴィヴィアーニが1659年に解を発表している。