フェイェール核

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数学におけるフェイェール核(フェイェールかく、: Fejér kernel)は、フーリエ級数に対するチェザロ和を閉じた式で与えるのに用いられる。フェイェール核は非負積分核からなる列であり、その全体は近似単位元を生じる。名称は、ハンガリーの数学者リポート・フェイェール (1880–1959) に因む。

いくつかのフェイェール核を描いたもの

定義[編集]

n-番目のフェイェール核 Fn

F_n(x) = \frac{1}{n} \sum_{k=0}^{n-1}D_k(x)

で定義される。ただし、

D_k(x)=\sum_{s=-k}^k e^{isx}

k-番目のディリクレ核である。これはまた閉じた形で

F_n(x) = \frac{1}{n+1} \left(\frac{\sin \frac{(n+1) x}{2}}{\sin \frac{x}{2}}\right)^2

と(式が定義できる範囲で)書くこともできる[1]

性質[編集]

フェイェール核の重要な性質は、函数としての正値性 Fn ≥ 0 および、畳み込み作用素 Fn の汎函数としての正値性、すなわち周期 2π の正値函数 f ≥ 0 に対し

0 \le (f*F_n)(x)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi f(y) F_n(x-y)\,dy

が成立すること、さらに畳み込みに対する近似単位元を与えること、すなわち

f*F_n \to f

が満たされることである(f は連続、または Lp([−π, π]) に属す任意の函数)。これはヤングの不等式から、0 ≤ p ≤ ∞ なるとき fLp([−π, π]) に対して

\|F_n*f \|_{L^p([-\pi, \pi])} \le \|f\|_{L^p([-\pi, \pi])}

が満たされることからでる。f が連続であるときも同様の評価が得られ、実際に f が連続ならば収斂は一様である。

関連項目[編集]

参考文献[編集]

  1. ^ Hoffman, Kenneth (1988). Banach Spaces of Analytic Functions. Dover. p. 17. ISBN 0-486-45874-1.