ビュフォンの針

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ビュフォンの針(ビュフォンのはり、: Buffon's needle problem)は18世紀博物学者ジョルジュ=ルイ・ルクレール、コント・ド・ビュフォンが提起した数学上の問題である。

もし床に多数の平行線を引き、そこに針を落すならば、どれかの線と針が交差する確率はどのようになるかという問題である。

積分と幾何学を使ってこの問題は解け、またこの方法を使って、モンテカルロ法円周率の近似値を求められる。

解法[編集]

a は線と交差する場合、 b は交差しない場合

数学的な表現では、与えられた長さ l の針を 距離 t の平行線の上に落としたときの、線と針が交差する確率を求める問題である。

針の中心から近いほうの線までの距離を x とし、針と線との角度を θ とする。x が 0 と t/2 の間にある確率密度関数は

 \frac{2}{t}\,dx.

また、角度 θ が 0 とπ/2 の間にある確率密度関数は

 \frac{2}{\pi}\,d\theta.

2つの確率変数 x と θ は独立なので、同時確率密度関数は積をとって

 \frac{4}{t\pi}\,dx\,d\theta

である。

x \le \frac{l}{2}\sin\theta

のときに針と線は交差するので、2重積分をとって針と線の確率を求められる。

t\ge l の場合の確率は

\int_{\theta=0}^{\frac{\pi}{2}} \int_{x=0}^{(l/2)\sin\theta}  \frac{4}{t\pi}\,dx\,d\theta = \frac{2 l}{t\pi}

となる。針を n 回落して針と線が h 回交差したなら、確率は

\frac{h}{n} = \frac{2 l}{t\pi},

であったということなので π の値は

\pi = \frac{2{l}n}{th}.

で求められる。

t < l の場合の確率は

\int_{\theta=0}^{\frac{\pi}{2}} \int_{x=0}^{m(\theta)}  \frac{4}{t\pi}\,dx\,d\theta

となる。ここで m(\theta) (l/2)\sin\thetat/2 の最小値である。

この式を解くと t < l の場合は次式を得る。

\frac{h}{n} = \frac{2 l}{t\pi} - \frac{2}{t\pi}\left\{\sqrt{l^2 - t^2} + t\sin^{-1}\left(\frac{t}{l}\right)\right\}+1.

ラザリニの実験[編集]

1901年にイタリア数学者マリオ・ラザリニはビュフォンの針の実験を行った。3408回針を投げて、よく知られた円周率の近似値 355/113 を得た。この近似値と π との差は 3 × 10−7 以下である。印象的な結果ではあるが、以下の理由でフェアな実験でなかったとされている。

ラザリニは線の巾の 5/6 の長さの針を選んだがその場合、針が直線と交差する確率は 5/3π である。n 回落下させて x 回交差したことから求められる π の値は

π5/3 · n/x

π355/113 に近いので(5桁以下の整数を使った分数の近似値でこれより近い分数はない)、nx は下式のように書かれる:

355/113 = 5/3 · n/x

または

x = 113/213n

である。π の近似値を求めるのであるが、355/113 は正しい値に近いので、n を 213 の整数倍の数字を選ぶことによって、113 の整数倍の数になる結果を得れば実験は成功する。

213 回の実験で 113 が得られれば π の小数点以下 6 桁の近似値が求まったことになり、そうでなければ実験を続ければよい。ラザリニは 3408 = 213 × 16 回の実験で、希望の近似値を得たことになった。

シミュレーションにおける依存の循環[編集]

この実験をコンピュータでシミュレーションすることもできるが、その際に(求めようとしている値であるはずの)円周率の値に依存せざるをえないという矛盾がある。

針の落ちる位置と角度をランダムに生成するときの「角度」が問題であり、ラジアンで範囲0〜π(円周率自体)に均等に分布するようにしなければならない(もしこの範囲や分布が偏っていると、当然おかしな結果になる)。単位にラジアンではなく (360°) を用いればよさそうに思えるかもしれないが、線にかかったかどうかの判定に用いる三角関数の計算で単位をラジアンにするために結局πを(コンピュータの内部では)使わざるをえず、回避できない[1]

脚注[編集]

  1. ^ このためか、モンテカルロ法の演習などで円周率を求めるときには、ビュフォンの針ではなく、正方形の内側のランダムな点が、その正方形に内接する四分円の内側に入る割合を数える方法が選ばれることがある。そのほうが、円周率を求めるための式の導出が簡単でもある。