ビネ・コーシーの恒等式

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代数学におけるビネ・コーシーの恒等式 (びね・こーしーのこうとうしき、: Binet–Cauchy identity)とは、ジャック・フィリップ・マリー・ビネ英語版および オーギュスタン=ルイ・コーシーに由来する以下の恒等式[1]


\begin{align}
\left(\sum_{i=1}^n a_i c_i\right)
\left(\sum_{j=1}^n b_j d_j\right)
&= 
\left(\sum_{i=1}^n a_i d_i\right)
\left(\sum_{j=1}^n b_j c_j\right) 
+ \sum_{1\le i < j \le n} 
(a_i b_j - a_j b_i ) 
(c_i d_j - c_j d_i )\\
&(a_i, b_i, c_i, d_i (i=1,\cdots,n) \in \mathbb{K})
\end{align}

のことである。ここで、\mathbb{K}実数複素数(より一般的には可換環)を表す。

ci = ai および di = bi とすれば、実数に対するラグランジュの恒等式英語版が得られる。これはユークリッド空間 \mathbb{R}^n におけるコーシー=シュワルツの不等式を強化したものである。

証明[編集]

右辺第2項を展開すると


\begin{align}
&\sum_{1\le i < j \le n} (a_i b_j - a_j b_i ) (c_i d_j - c_j d_i )\\
&= \sum_{1\le i < j \le n} (a_i c_i b_j d_j + a_j c_j b_i d_i) + \sum_{i=1}^n a_i c_i b_i d_i
-  \sum_{1\le i < j \le n} (a_i d_i b_j c_j + a_j d_j b_i c_i) - \sum_{i=1}^n a_i d_i b_i c_i \\
&= \left(\sum_{1\le i < j \le n} + \sum_{1\le j < i \le n} + \sum_{1\le i = j \le n} \right) a_i c_i b_j d_j
-  \left(\sum_{1\le i < j \le n} + \sum_{1\le j < i \le n} + \sum_{1\le i = j \le n} \right) a_i d_i b_j c_j\\
&= \sum_{1\le i \le n \atop 1\le j \le n} a_i c_i b_j d_j
-  \sum_{1\le i \le n \atop 1\le j \le n} a_i d_i b_j c_j\\
&= \left(\sum_{i=1}^n a_i c_i \right) \left(\sum_{j=1}^n b_j d_j \right)
-  \left(\sum_{i=1}^n a_i d_i \right) \left(\sum_{j=1}^n b_j c_j \right)
\end{align}

となり、残りの項が導かれる。(第一式から第二式の導出に乗算可換性を用いている。)

ビネ・コーシーの恒等式とスカラー4重積[編集]

n = 3, \mathbb{K}=\mathbb{R} のとき

\begin{align}
\left(\sum_{i=1}^n a_i c_i\right)
\left(\sum_{j=1}^n b_j d_j\right)
-
\left(\sum_{i=1}^n a_i d_i\right)
\left(\sum_{j=1}^n b_j c_j\right) 
&= 
(a_1 b_2 - a_2 b_1 ) 
(c_1 d_2 - c_2 d_1 )\\
&+
(a_2 b_3 - a_3 b_2 ) 
(c_2 d_3 - c_3 d_2 )\\
&+
(a_1 b_3 - a_3 b_1 ) 
(c_1 d_3 - c_3 d_1 )\\
(\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{c})
(\boldsymbol{b}\cdot\boldsymbol{d})
-
(\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{d})
(\boldsymbol{b}\cdot\boldsymbol{c})
&= 
(\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b})_3
(\boldsymbol{c}\times\boldsymbol{d})_3\\
&+
(\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b})_1
(\boldsymbol{c}\times\boldsymbol{d})_1\\
&+
(\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b})_2
(\boldsymbol{c}\times\boldsymbol{d})_2
\end{align}

すなわち、クロス積スカラー四重積の公式


(\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}) \cdot (\boldsymbol{c} \times \boldsymbol{d})
=  (\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{c})(\boldsymbol{b} \cdot \boldsymbol{d}) 
-  (\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{d})(\boldsymbol{b} \cdot \boldsymbol{c})
\quad (\boldsymbol{a},\boldsymbol{b},\boldsymbol{c},\boldsymbol{d} \in \mathbb{R}^3)

が得られる。(この式をビネ・コーシーの恒等式ということもある。)

この式をスカラー三重積の性質を使って変形すれば

\begin{align}
\{(\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b})\times\boldsymbol{c}\}\cdot\boldsymbol{d}
&= \left\{ 
    (\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{c})\boldsymbol{b} 
  - (\boldsymbol{b}\cdot\boldsymbol{c})\boldsymbol{a} 
\right\} \cdot\boldsymbol{d} 
\\ 
\therefore~ (\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b})\times\boldsymbol{c} 
&= (\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{c})\boldsymbol{b} - (\boldsymbol{b}\cdot\boldsymbol{c})\boldsymbol{a} 
\end{align}

ベクトル三重積の公式が得られる。

また、c = a, d = b とおくと、


\|\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}\|^2
=  \|\boldsymbol{a}\|^2 \|\boldsymbol{b}\|^2
-  (\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b})^2
\quad (\boldsymbol{a},\boldsymbol{b} \in \mathbb{R}^3)

と、ベクトル解析におけるラグランジュの恒等式が得られる。

一般化[編集]

以下の定理はコーシー・ビネの公式として知られている一般化である:

n自然数とし、集合 {1,...,n } を [n ] と表記する。 m を非負整数として、Am ×n行列Bn ×m の行列とする。 S を [n ] からm 個を選んだ部分集合とし、 ASAn 個のからS に含まれる添字のを取り出して得られたm ×m 行列、 BSBn 個のからS に含まれる添字のを取り出して得られたm ×m 行列とする。

m ×m 行列である積AB行列式


\det(AB) = \sum_{\scriptstyle S\subset[n]\atop\scriptstyle|S|=m} \det(A_S)\det(B^S)

で表せる。ただし、和において、S は{1,...,n } の要素数m の部分集合のすべてを取るとする。

特別な場合として、m =2として


A=\begin{pmatrix}a_1&\dots&a_n\\b_1&\dots& b_n\end{pmatrix},\quad
B=\begin{pmatrix}c_1&d_1\\\vdots&\vdots\\c_n&d_n\end{pmatrix}

を適用すれば


\begin{vmatrix}
  \displaystyle \sum_{i=1}^n a_ic_i & \displaystyle \sum_{i=1}^n a_id_i \\ 
  \displaystyle \sum_{i=1}^n b_ic_i & \displaystyle \sum_{i=1}^n b_id_i
\end{vmatrix}
= 
\sum_{1 \le i < j \le n} 
\begin{vmatrix}a_{i}&a_{j}\\ b_{i}&b_{j}\end{vmatrix}
\begin{vmatrix}c_{i}&d_{i}\\ c_{j}&d_{j}\end{vmatrix}

となり、ビネ・コーシーの恒等式が得られる。

出典[編集]

  1. ^ Eric W. Weisstein (2003). “Binet-Cauchy identity”. CRC concise encyclopedia of mathematics (2nd ed.). CRC Press. p. 228. ISBN 1-58488-347-2. http://books.google.com/books?id=8LmCzWQYh_UC&pg=PA228. 

関連文献[編集]

  • 伊理正夫・韓太舜 『線形代数 行列とその標準形』 教育出版〈新しい応用の数学16〉、1977年6月。ISBN 4-316-37670-5

関連項目[編集]