ビネ・コーシーの恒等式

代数学におけるビネ・コーシーの恒等式 (びね・こーしーのこうとうしき、英: Binet–Cauchy identity)とは、ジャック・フィリップ・マリー・ビネおよび オーギュスタン＝ルイ・コーシーに由来する以下の恒等式

$\begin{align} \left(\sum_{i=1}^n a_i c_i\right) \left(\sum_{j=1}^n b_j d_j\right) &= \left(\sum_{i=1}^n a_i d_i\right) \left(\sum_{j=1}^n b_j c_j\right) + \sum_{1\le i < j \le n} (a_i b_j - a_j b_i ) (c_i d_j - c_j d_i )\\ &(a_i, b_i, c_i, d_i (i=1,\cdots,n) \in \mathbb{K}) \end{align}$

のことである。ここで、$\mathbb{K}$は実数や複素数(より一般的には可換環)を表す。

c_i = a_i および d_i = b_i とすれば、実数に対するラグランジュの恒等式が得られる。これはユークリッド空間 $\mathbb{R}^n$ におけるコーシー＝シュワルツの不等式を強化したものである。

証明

右辺第2項を展開すると

$\begin{align} &\sum_{1\le i < j \le n} (a_i b_j - a_j b_i ) (c_i d_j - c_j d_i )\\ &= \sum_{1\le i < j \le n} (a_i c_i b_j d_j + a_j c_j b_i d_i) + \sum_{i=1}^n a_i c_i b_i d_i - \sum_{1\le i < j \le n} (a_i d_i b_j c_j + a_j d_j b_i c_i) - \sum_{i=1}^n a_i d_i b_i c_i \\ &= \left(\sum_{1\le i < j \le n} + \sum_{1\le j < i \le n} + \sum_{1\le i = j \le n} \right) a_i c_i b_j d_j - \left(\sum_{1\le i < j \le n} + \sum_{1\le j < i \le n} + \sum_{1\le i = j \le n} \right) a_i d_i b_j c_j\\ &= \sum_{1\le i \le n \atop 1\le j \le n} a_i c_i b_j d_j - \sum_{1\le i \le n \atop 1\le j \le n} a_i d_i b_j c_j\\ &= \left(\sum_{i=1}^n a_i c_i \right) \left(\sum_{j=1}^n b_j d_j \right) - \left(\sum_{i=1}^n a_i d_i \right) \left(\sum_{j=1}^n b_j c_j \right) \end{align}$

となり、残りの項が導かれる。(第一式から第二式の導出に乗算の可換性を用いている。)

ビネ・コーシーの恒等式とスカラー４重積

n = 3, $\mathbb{K}=\mathbb{R}$ のとき

$\begin{align} \left(\sum_{i=1}^n a_i c_i\right) \left(\sum_{j=1}^n b_j d_j\right) - \left(\sum_{i=1}^n a_i d_i\right) \left(\sum_{j=1}^n b_j c_j\right) &= (a_1 b_2 - a_2 b_1 ) (c_1 d_2 - c_2 d_1 )\\ &+ (a_2 b_3 - a_3 b_2 ) (c_2 d_3 - c_3 d_2 )\\ &+ (a_1 b_3 - a_3 b_1 ) (c_1 d_3 - c_3 d_1 )\\ (\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{c}) (\boldsymbol{b}\cdot\boldsymbol{d}) - (\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{d}) (\boldsymbol{b}\cdot\boldsymbol{c}) &= (\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b})_3 (\boldsymbol{c}\times\boldsymbol{d})_3\\ &+ (\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b})_1 (\boldsymbol{c}\times\boldsymbol{d})_1\\ &+ (\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b})_2 (\boldsymbol{c}\times\boldsymbol{d})_2 \end{align}$

すなわち、クロス積のスカラー四重積の公式

$(\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}) \cdot (\boldsymbol{c} \times \boldsymbol{d}) = (\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{c})(\boldsymbol{b} \cdot \boldsymbol{d}) - (\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{d})(\boldsymbol{b} \cdot \boldsymbol{c}) \quad (\boldsymbol{a},\boldsymbol{b},\boldsymbol{c},\boldsymbol{d} \in \mathbb{R}^3)$

が得られる。（この式をビネ・コーシーの恒等式ということもある。）

この式をスカラー三重積の性質を使って変形すれば

$\begin{align} \{(\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b})\times\boldsymbol{c}\}\cdot\boldsymbol{d} &= \left\{ (\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{c})\boldsymbol{b} - (\boldsymbol{b}\cdot\boldsymbol{c})\boldsymbol{a} \right\} \cdot\boldsymbol{d} \\ \therefore~ (\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b})\times\boldsymbol{c} &= (\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{c})\boldsymbol{b} - (\boldsymbol{b}\cdot\boldsymbol{c})\boldsymbol{a} \end{align}$

とベクトル三重積の公式が得られる。

また、c = a, d = b とおくと、

$\|\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}\|^2 = \|\boldsymbol{a}\|^2 \|\boldsymbol{b}\|^2 - (\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b})^2 \quad (\boldsymbol{a},\boldsymbol{b} \in \mathbb{R}^3)$

と、ベクトル解析におけるラグランジュの恒等式が得られる。

一般化

以下の定理はコーシー・ビネの公式として知られている一般化である:

n を自然数とし、集合 {1,...,n } を [n ] と表記する。 m を非負整数として、A をm ×n の行列、B をn ×m の行列とする。 S を [n ] からm 個を選んだ部分集合とし、 A_S をA のn 個の列からS に含まれる添字の列を取り出して得られたm ×m 行列、 B^S をB のn 個の行からS に含まれる添字の行を取り出して得られたm ×m 行列とする。 m ×m 行列である積AB の行列式は

$\det(AB) = \sum_{\scriptstyle S\subset[n]\atop\scriptstyle|S|=m} \det(A_S)\det(B^S)$

で表せる。ただし、和において、S は{1,...,n } の要素数m の部分集合のすべてを取るとする。

特別な場合として、m =2として

$A=\begin{pmatrix}a_1&\dots&a_n\\b_1&\dots& b_n\end{pmatrix},\quad B=\begin{pmatrix}c_1&d_1\\\vdots&\vdots\\c_n&d_n\end{pmatrix}$

を適用すれば

$\begin{vmatrix} \displaystyle \sum_{i=1}^n a_ic_i & \displaystyle \sum_{i=1}^n a_id_i \\ \displaystyle \sum_{i=1}^n b_ic_i & \displaystyle \sum_{i=1}^n b_id_i \end{vmatrix} = \sum_{1 \le i < j \le n} \begin{vmatrix}a_{i}&a_{j}\\ b_{i}&b_{j}\end{vmatrix} \begin{vmatrix}c_{i}&d_{i}\\ c_{j}&d_{j}\end{vmatrix}$

となり、ビネ・コーシーの恒等式が得られる。

関連文献

• 伊理正夫・韓太舜 『線形代数 行列とその標準形』 教育出版〈新しい応用の数学16〉、1977年6月。ISBN 4-316-37670-5。

関連項目

• 行列式
• ラグランジュの恒等式
• コーシー・ビネの公式
• 三重積 (ベクトル解析)
• 四重積 (ベクトル解析)