ヒルベルト多項式

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可換環論における次数環あるいは次数加群ヒルベルト多項式(ヒルベルトたこうしき、: Hilbert polynomial)は、その(次数環あるいは次数加群の)斉次成分の次元の増加率を測る一変数多項式である。次数付き可換環 S のヒルベルト多項式の次数および最高次係数は、射影代数多様体 Proj S の次数および次元に関係がある。

定義[編集]

K 上の有限次元空間 S1 から生成される次数付き多元環

S = \bigoplus S_n\

ヒルベルト多項式とは、すべての(しかし有限個の)正の整数 n に対して

HS(n) = dimk Sn

を満たす、ただひとつの有理係数多項式 HS(t) のことである。つまり、すべての(しかし有限個の)自然数 n に対する値が(ふつうはそういうふうには言わないけれども、多項式補間という形で)多項式によって与えられるような場合の「ヒルベルト函数」という意味でこれを「ヒルベルト多項式」と呼ぶのである。

次元の値は整数であるから、ヒルベルト多項式は整数値多項式 (numerical polynomial) である。しかし、ヒルベルト多項式が整係数多項式となるのは極めて稀である (Schenck 2003, pp. 41)。

同様に有限生成次数加群 M のヒルベルト多項式 HM も(少なくとも M が正の次数付けを持つならば)定義することができる。

Pn 内の射影多様体 V のヒルベルト多項式は、V斉次座標環のヒルベルト多項式として定義される。

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  • xi を斉一次の変数とする k+1 変数多項式環 S = K[x0, x1, …, xk] のヒルベルト多項式 HS(t) は二項係数
     H_S(t) = {{t+k}\choose{k}} = \frac{(t+1)\ldots(t+k)}{k!}
    である。
  • M が有限次元次数加群ならば、その十分大きな次数の斉次成分はすべて 0 であり、ゆえに M のヒルベルト多項式は恒等的に 0 である。

一般化[編集]

S が次数 1 の成分で生成されない場合にも、S 上の有限生成加群 M のヒルベルト函数はまだ定義可能だが、もはや多項式であるとは限らない。Mヒルベルト-ポワンカレ級数M の次数付き成分の次元の母函数として定義される。M がよい性質を持つならば、ヒルベルト-ポワンカレ級数は有理函数となる (Eisenbud 1995, Chapter 10)。

参考文献[編集]