パーセバルの定理

パーセバルの定理（英: Parseval's theorem）とは、一般にフーリエ変換がユニタリとなる結果を指す。大まかに言えば、関数の平方の総和（積分）が、そのフーリエ変換の平方の総和（積分）と等しい。数学者パーセバル（Marc-Antoine Parseval）の1799年の級数に関する定理が起源であり、後にフーリエ級数に適用されるようになった。レイリー卿ジョン・ウィリアム・ストラットに因んで、レイリーのエネルギー定理（Rayleigh's energy theorem）とも呼ばれる。

また、特に物理学や工学分野で、任意のフーリエ変換のユニタリ性を指してパーセバルの定理と呼ぶこともある。この特性の最も汎用的な形式はプランシュレルの定理と呼ぶ。

定義

A(x) と B(x) をリーマン積分可能な R 上の複素数値関数（周期は 2π）とし、これらをフーリエ級数で表すと

$A(x)=\sum_{n=-\infty}^\infty a_ne^{inx}$ と $B(x)=\sum_{n=-\infty}^\infty b_ne^{inx}$

となる。すると、これらについて以下が成り立つ。

$\sum_{n=-\infty}^\infty a_n\overline{b_n} = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^\pi A(x)\overline{B(x)} dx$

ここで、i は虚数単位、上付きの横棒は共役複素数を表す。

パーセバル自身は実数値関数のみを考えており、定理も自明であるとして証明抜きで提示しただけだった。この定理には様々な重要な特殊ケースがある。まず、A = B の場合、以下の式が得られる。

$\sum_{n=-\infty}^\infty |a_n|^2 = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^\pi |A(x)|^2 dx$

ここからフーリエ変換のユニタリ性が導き出される。

次に、実数値関数 A と B のフーリエ級数の場合、$a_0$ は実数で、$a_{-n} = \overline{a_n}$、$b_0$ は実数で、$b_{-n} =\overline{b_n}$ という特殊ケースになる。この場合、次が成り立つ。

$a_0 b_0 + 2 \Re \sum_{n=1}^\infty a_n\overline{b_n} = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^\pi A(x) B(x)dx$

ここで、$\Re$ は実数成分を意味する。$a_n$ と $b_n$ を $a_n / 2 - i b_n / 2$ とする場合もある。

応用

物理学や工学では、パーセバルの定理は以下のように記述されることが多い。

$\int_{-\infty}^{\infty} | x(t) |^2 dt = \int_{-\infty}^{\infty} | X(f) |^2 df$

ここで、$X(f) = \mathcal{F} \{ x(t) \}$ は x(t) の連続フーリエ変換を表し（正規化されたユニタリ形式）、f は x の周波数成分（角周波数ではない）を表す。

この形式の定理は、波形 x(t) が持つ全エネルギーの全時間 t についての総和と、その波形のエネルギーのフーリエ変換 X(f) の全周波数成分 f についての総和とが等しいことを意味する。

離散時間信号の場合、この定理は次のようになる。

$\sum_{n=-\infty}^{\infty} | x[n] |^2 = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} | X(e^{j\phi}) |^2 d\phi$

ここで、X は x の離散時間フーリエ変換 (DTFT) であり、φ は x の角周波数（標本当たりのラジアン）を意味する。

また、離散フーリエ変換 (DFT) では次のようになる。

$\sum_{n=0}^{N-1} | x[n] |^2 = \frac{1}{N} \sum_{k=0}^{N-1} | X[k] |^2$

ここで、X[k] は x[n] の DFT であり、どちらも長さ N である。

ノルム形式と内積形式の等価性

次の式は

$\int_{-\infty}^\infty x(t)\overline{y}(t) dt = \int_{-\infty}^\infty X(f)\overline{Y}(f) df$

内積形式であり、また次の式は

$\int_{-\infty}^\infty |x(t)|^2 dt = \int_{-\infty}^\infty |X(f)|^2 df$

ノルム形式である。これらが等価であることを（各点で）示すのは難しくはない。次のような偏極恒等式（polarization identity）を使うことができる。

$a\overline{b} = \frac{1}{4}(|a+b|^2 + i|a+ib|^2 + i^2|a+i^2b|^2 + i^3|a+i^3b|^2)$

この式はあらゆる複素数 a と b で成り立ち、積分に対してもフーリエ変換に対しても線型性が保たれる。

参考文献

• Parseval, MacTutor History of Mathematics archive.
• George B. Arfken and Hans J. Weber, Mathematical Methods for Physicists (Harcourt: San Diego, 2001).
• Hubert Kennedy, Eight Mathematical Biographies (Peremptory Publications: San Francisco, 2002).
• Alan V. Oppenheim and Ronald W. Schafer, Discrete-Time Signal Processing 2nd Edition (Prentice Hall: Upper Saddle River, NJ, 1999) p 60.
• William McC. Siebert, Circuits, Signals, and Systems (MIT Press: Cambridge, MA, 1986), pp. 410-411.
• David W. Kammler, A First Course in Fourier Analysis (Prentice-Hall, Inc., Upper Saddle River, NJ, 2000) p. 74.

外部リンク

• Parseval's Theorem on Mathworld
• 映画『グッド・ウィル・ハンティング/旅立ち』で、ランボー・ジェラルドの登場シーンで彼が黒板に書き終えたのがパーセバルの定理であった。 [1]