パーセバルの定理

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パーセバルの定理: Parseval's theorem[1][2]とは、一般にフーリエ変換ユニタリとなる結果を指す。大まかに言えば、関数の平方の総和(積分)が、そのフーリエ変換の平方の総和(積分)と等しい。数学者パーセバル英語版(Marc-Antoine Parseval)の1799年級数に関する定理が起源であり、後にフーリエ級数に適用されるようになった。レイリー卿ジョン・ウィリアム・ストラットに因んで、レイリーのエネルギー定理(Rayleigh's energy theorem)とも呼ばれる[3]

また、特に物理学工学分野で、任意のフーリエ変換のユニタリ性を指してパーセバルの定理と呼ぶこともある。この特性の最も汎用的な形式はプランシュレルの定理と呼ぶ[4]

定義[編集]

A(x) と B(x) をリーマン積分可能な R 上の複素数値関数(周期は 2π)とし、これらをフーリエ級数で表すと

A(x)=\sum_{n=-\infty}^\infty a_ne^{inx}B(x)=\sum_{n=-\infty}^\infty b_ne^{inx}

となる。すると、これらについて以下が成り立つ。

\sum_{n=-\infty}^\infty a_n\overline{b_n} = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^\pi A(x)\overline{B(x)} dx

ここで、i虚数単位、上付きの横棒は共役複素数を表す。

パーセバル自身は実数値関数のみを考えており、定理も自明であるとして証明抜きで提示しただけだった。この定理には様々な重要な特殊ケースがある。まず、A = B の場合、以下の式が得られる。

\sum_{n=-\infty}^\infty |a_n|^2 = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^\pi |A(x)|^2 dx

ここからフーリエ変換のユニタリ性が導き出される。

次に、実数値関数 AB のフーリエ級数の場合、a_0 は実数で、a_{-n} = \overline{a_n}b_0 は実数で、b_{-n} =\overline{b_n} という特殊ケースになる。この場合、次が成り立つ。

a_0 b_0 + 2 \Re \sum_{n=1}^\infty a_n\overline{b_n} = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^\pi A(x) B(x)dx

ここで、\Re は実数成分を意味する。a_nb_na_n / 2 - i b_n / 2 とする場合もある。

応用[編集]

物理学工学では、パーセバルの定理は以下のように記述されることが多い。

\int_{-\infty}^{\infty} | x(t) |^2 dt   =   \int_{-\infty}^{\infty} | X(f) |^2 df

ここで、X(f) = \mathcal{F} \{ x(t) \}x(t) の連続フーリエ変換を表し(正規化されたユニタリ形式)、fx の周波数成分(角周波数ではない)を表す。

この形式の定理は、波形 x(t) が持つ全エネルギー英語版の全時間 t についての総和と、その波形のエネルギーのフーリエ変換 X(f) の全周波数成分 f についての総和とが等しいことを意味する。

離散時間英語版信号の場合、この定理は次のようになる。

 \sum_{n=-\infty}^{\infty} | x[n] |^2  =  \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} | X(e^{j\phi}) |^2 d\phi

ここで、Xx離散時間フーリエ変換 (DTFT) であり、φ は x角周波数(標本当たりのラジアン)を意味する。

また、離散フーリエ変換 (DFT) では次のようになる。

 \sum_{n=0}^{N-1} | x[n] |^2  =   \frac{1}{N} \sum_{k=0}^{N-1} | X[k] |^2

ここで、X[k] は x[n] の DFT であり、どちらも長さ N である。

ノルム形式と内積形式の等価性[編集]

次の式は

\int_{-\infty}^\infty x(t)\overline{y}(t) dt = \int_{-\infty}^\infty X(f)\overline{Y}(f) df

内積形式であり、また次の式は

\int_{-\infty}^\infty |x(t)|^2 dt = \int_{-\infty}^\infty |X(f)|^2 df

ノルム形式である。これらが等価であることを(各点で)示すのは難しくはない。次のような偏極恒等式英語版(polarization identity)を使うことができる。

a\overline{b} = \frac{1}{4}(|a+b|^2 + i|a+ib|^2 + i^2|a+i^2b|^2 + i^3|a+i^3b|^2)

この式はあらゆる複素数 ab で成り立ち、積分に対してもフーリエ変換に対しても線型性が保たれる。

脚注[編集]

  1. ^ Parseval des Chênes, Marc-Antoine "Mémoire sur les séries et sur l'intégration complète d'une équation aux differences partielle linéaire du second ordre, à coefficiens constans" presented before the Académie des Sciences (Paris) on 5 April 1799. This article was published in Mémoires présentés à l’Institut des Sciences, Lettres et Arts, par divers savans, et lus dans ses assemblées. Sciences, mathématiques et physiques. (Savans étrangers.), vol. 1, pages 638-648 (1806).
  2. ^ 安達文幸 (2007). 通信システム工学. 朝倉書店. p. 8. ISBN 978-4-254-22878-6. では「パーシバルの定理」と記載されている。
  3. ^ Rayleigh, J.W.S. (1889) "On the character of the complete radiation at a given temperature," Philosophical Magazine, vol. 27, pages 460-469.
  4. ^ Plancherel, Michel (1910) "Contribution a l'etude de la representation d'une fonction arbitraire par les integrales définies," Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo, vol. 30, pages 298-335.

参考文献[編集]

  • Parseval, MacTutor History of Mathematics archive.
  • George B. Arfken and Hans J. Weber, Mathematical Methods for Physicists (Harcourt: San Diego, 2001).
  • Hubert Kennedy, Eight Mathematical Biographies (Peremptory Publications: San Francisco, 2002).
  • Alan V. Oppenheim and Ronald W. Schafer, Discrete-Time Signal Processing 2nd Edition (Prentice Hall: Upper Saddle River, NJ, 1999) p 60.
  • William McC. Siebert, Circuits, Signals, and Systems (MIT Press: Cambridge, MA, 1986), pp. 410-411.
  • David W. Kammler, A First Course in Fourier Analysis (Prentice-Hall, Inc., Upper Saddle River, NJ, 2000) p. 74.

外部リンク[編集]