パップス=ギュルダンの定理

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』
移動: 案内検索

パップス・ギュルダンの定理(Pappus-Guldinus theorem)(パップスの重心定理 (Pappus' centroid theorem)、パップスの定理[1] (Pappus' theorem)、ギュルダンの定理 (Guldinus theorem) とも)は、回転体表面積体積に関する相互に関連のある定理である[2]アレキサンドリアのパップスによって発見され、後にパウル・ギュルダンによって独立に発見された。

第一定理[編集]

平面上にある有界な曲線 C の長さを s とし、C と同じ平面上にあり C と共有点を持たない軸 l の周りで C を一回転させた回転体の表面積(曲面の面積)を S とする。回転させる曲線 C の重心 G から回転軸 l までの距離を R としたとき、次式が成り立つ。

S = 2\pi R s

この式は、(回転体の表面積 S) = (曲線 C の重心 G が回転により描く軌跡の長さ) × (曲線 C の長さ s) と解釈することができる。

第二定理[編集]

平面上にある図形 F の面積を S とし、F と同じ平面上にあり F を通らない軸 l の周りで F を一回転させた回転体の体積を V とする。回転させる図形 F の重心 G から回転軸 l までの距離を R としたとき、次式が成り立つ。

V = 2\pi R S

この式は、(回転体の体積 V) = (図形 F の重心 G が回転により描く軌跡の長さ) × (図形 F の面積 S) と解釈することができる。

脚注[編集]

  1. ^ 中線定理の別名として使われることが多い。
  2. ^ 日本では第二定理のみを指すことも多い。