パスカルの原理

パスカルの原理（パスカルのげんり、英語：Pascal's principle）は、ブレーズ・パスカルによる「密閉容器中の流体は、その容器の形に関係なく、ある一点に受けた単位面積当りの圧力をそのままの強さで、流体の他のすべての部分に伝える。」という流体静力学における基本原理である。

応用例

ピストンの面積を変えると増力するのにつかうことができる。

右図のような水を注いでピストンで密閉したU字型の管を用意する。一方のピストンに押し下げるように力を加えると、もう一方のピストンに押し上げるような力が発生する。このとき、水がピストンを押す力とピストンの面積の比は二つのピストンにおいて等しいことが、パスカルの原理から導かれる。

これにより、ピストンにかかる力の大きさは面積に比例することがわかる。たとえば、2つのピストンの面積比を2:1にすると、大きいピストンには小さいピストンの2倍の重量の物体をおいて吊り合わせることができる。

この考えを用いて以下のような力を増幅する装置が得られる。

• 油圧ジャッキ - ジャッキの一種。大きな持ち上げ力を得られる。
• 油圧ブレーキ - 自動車のブレーキの一種。ブレーキペダルを踏む力を増幅して車輪の回転を止める。

現代的な表現

パスカルの原理は

「静止流体において微小な面で互いに接触した二つの微小な流体要素A、Bを考える。流体要素Aが接触面を介して流体要素Bから受ける力（接触力）は、

• 方向は接触面に垂直であり、
• 大きさは接触面の方向によらず、面積に比例する。」

と表現できる。

これを式で表すと

$\delta \boldsymbol{\mathit{F}} = -p\, \boldsymbol{\mathit{n}}\, \delta S$

• $\delta \boldsymbol{\mathit{F}}$ : 接触力ベクトル
• p : 比例定数
• δS  : 接触面の面積
• $\boldsymbol{\mathit{n}}$ : 接触面の単位法ベクトル(A→Bの向き)

となる。負符号は流体要素Aを圧縮する方向を正にとったからである。この比例定数 p が圧力である。定義により圧力の大きさは面の方向には依存しないが、位置に依存して変化してもよい。

体積δVの微小体積要素に作用する全ての接触力の合力$\boldsymbol{\mathit{F}}$は、ガウスの定理を援用して

$\boldsymbol{\mathit{F}} = -\nabla p\, \delta V$

であることが導かれる。 よって、流体の密度をρ、流体にはたらく単位質量あたりの外力を$\boldsymbol{\mathit{f}}$ とすると、静止流体における力の釣り合い

$-\nabla p + \rho \boldsymbol{\mathit{f}} = 0$

が得られる。これが流体静力学における基本方程式である。

外力が無視できる場合、 $-\nabla p=0$ であるから圧力は一定、すなわち、流体が容器を押す力の単位面積あたりの値は場所によらず等しいこと、および、流体の一点に印加された力は流体によって伝播され遠方の地点へと伝わること、が導かれる。

なお、パスカルの原理は流体の定義「静止状態においてせん断応力が発生しない連続体」から導出できる。