バナッハ関数環

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数学関数解析学の分野において、あるコンパクトハウスドルフ空間 X 上のバナッハ関数環(バナッハかんすうかん、: Banach function algebra)とは、X を定義域とするすべての連続複素数値関数からなる可換C*-環単位的部分環 A のことを言う。あるノルムが備えられることで、バナッハ環となる。

バナッハ関数環は、すべての  (f\in A) に対して f(p) = 0 となるようなある点 p が存在するなら、その点 p において消失する(vanish)と言われる。関数環は、異なる各点のペア  (p,q \in X) に対して  f(p) \neq f(q) となるような関数  (f\in A) を含むとき、各点を分割する(separate)と言われる。

x\in X に対して、\varepsilon_x(f)=f(x)\ (f\in A) を定める。このとき \varepsilon_xA 上の非ゼロな準同型である。

定理 バナッハ関数環は半単純英語版(すなわちそのジャコブソン根基英語版が 0 に等しい)で、それぞれの可換な単位的半単純バナッハ環は(ゲルファンド変換英語版を通じて)その特性空間上のあるバナッハ関数環への同型である。ここで特性空間とは、A から複素数への環準同型で相対弱*位相英語版が与えられるものからなる空間である。

A 上のノルムが X 上の一様ノルム(あるいは上限ノルム)であるなら、A一様環と呼ばれる。一様環はバナッハ関数環の特別な場合として重要なものである。

参考文献[編集]

  • H.G. Dales Banach algebras and automatic continuity